II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
3.2.1. Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy logic và ngôn ngữ chính xác 1 Một số định nghĩa về tư duy logic
3.2.1.1. Một số định nghĩa về tư duy logic
1. Có nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa: “Tư duy thay thế các hành động với các sự vật có thật bằng sự vận dụng khái niệm theo quy tắc của Logic học gọi là tư duy logic” (A. V. Petrovxki (1982), Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm, tập 2, Nxb GD, HN).
“Tư duy logic là tư duy chính xáctheo các quy luật và hình thức, không phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn” (Vương Tất Đạt)
“Tư duy logic được đặc trưng bởi kỹ năng rút ra kết luận từ những tiền đề cho trước; kỹ năng phân chia các trường hợp riêng để khảo sát đầy đủ mọi sự kiện toán học; kỹ năng dự đoán về mặt lý thuyết một số kết quả cụ thể; kỹ năng khái quát hóa các kết quả thu được” (Iu. M. Koliagin, V. A. Oganhexian, Phương pháp dạy Toán)
Giáo sư Hoàng Chúng cho rằng: “Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua môn toán thực hiện theo ba hướng có liên quan chặt chẽ với nhau:
- Nắm vững thuật ngữ toán học và các ký hiệu toán học; - Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia khái niệm; - Phát triển khả năng suy luận chặt chẽ.”
Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của dạy học Toán ở trường phổ thông là dạy học sinh suy nghĩ, để việc dạy học có hiệu quả nhất, học sinh phải tự mình khám phá trong chừng mực có thể phần lớn tài liệu học tập. “Với những ai đang học Toán, tất nhiên họ sẽ học chứng minh, nhưng phải học cả dự đoán nữa”
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cũng coi trọng quan điểm dạy học sinh mò mẫm, dự đoán để phát hiện vấn đề.
Trong cuốn Phương pháp dạy học môn Toán của Giáo sư Nguyễn Bá Kim, ở trang 53 viết: “Việc phát triển tư duy và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn Toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:
* Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,...
* Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
* Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh”.
2. Trên đây là một quan điểm chung nhất, nhằm định hướng cho việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ Toán học cho học sinh. Nhưng, quan niệm thế nào là năng lực tư duy logic sử dụng chính xác ngôn ngữ Toán học thì còn nhiều cách khác nhau. Khi thực hiện vấn đề này, người giáo viên Toán
nên vận dụng tùy theo lớp học, đối tượng cấp học, môn học mà mình đảm nhận. Bản thân giáo viên Toán tự mình đưa ra cách quan niệm dựa trên một số cơ sở thích hợp:
(1) Cần tham khảo một số sách về Phương pháp dạy học môn Toán, các quan điểm của những tác giả có đề cập đến tư duy Toán học, đặc biệt những tác giả có đề cập đến các thành tố của tư duy logic.
(2) Căn cứ vào chất liệu và đặc thù của môn học mà giáo viên giảng dạy; (3) Căn cứ vào thực tiễn dạy học các môn Toán các cấp ở phổ thông
(4) Cần căn cứ vào đặc điểm tâm lý đối tượng, những sai lầm phổ biến của học sinh khi học toán và giải toán, để xác định những hoạt động thích hợp giúp học khắc phục những khó khăn, sai lầm.
(5) “Việc thể hiện cách quan niệm về những thành tố của một loại hình tư duy toán học, cũng như của năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học nói riêng, không phải là một vấn đề có tính hình thức, mà nên cân nhắc đến hai tiêu chí sau:
- Các thành tố này thực sự có ý nghĩa với việc nâng cao hiệu quả học môn Toán không? - Trong thực tế dạy học, có khả năng phát triển được các thành tố đó hay không?
Đặc biệt, trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận (Trường Đại học Vinh, 2004), tác giả đã xác định bảy thành tố đặc trưng của Năng lực tư duy logic và Sử dụng ngôn ngữ chính xác của học sinh đầu cấp Trung học phổ thông như sau:
1) Năng lực suy luận chính xác và chặt chẽ tuân theo các quy luật và quy tắc suy luận của Logic hình thức;
2) Năng lực phân chia các trường hợp riêng từ những sự kiện tổng quát, nhằm xem xét (xử lý, biện luận,...) vấn đề với mức độ trọn vẹn và hoàn chỉnh;
3) Năng lực kết hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn. Nói riêng là, biết dự đoán những quan hệ, những tính chất, những đặc điểm,...trên cơ sở quan sát, xem xét một số trường hợp cụ thể; hơn nữa, biết sử dụng bước dự đoán để làm điều gợi ý cho các thao tác như biến đổi, thêm, bớt,...theo cách thích hợp với bài toán cần giải;
4) Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, biết sử dụng những kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán của thực tế;
5) Năng lực diễn đạt một sự kiện toán học theo những cách khác nhau, đặc biệt, biết hướng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt
nhờ đó sẽ cho phép nhận thức vấn đề một cách chính xác hơn nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán;
6) Năng lực hiểu đúng nghĩa và sử dụng chính xác những thuật ngữ và ký hiệu toán học. Đặc biệt, hiểu đúng và sử dụng đúng các phép biến đổi hệ quả và tương đương khi giải quyết vấn đề về phương trình và bất phương trình;
7) Năng lực ý thức được sự khác nhau trong cách hiểu đối với một số cách nói phổ biến trong Tiếng Việt và những mệnh đề (có cấu trúc tương tự như thế) trong Toán học; đồng thời, biết sử dụng một số thuật ngữ và ký hiệu của logic toán để diễn đạt các mệnh đề toán học. (Nguyễn Văn Thuận, Góp phần phát triển năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông, Luận án Tiến sĩ).
3.2.1.2. Giáo viên Toán cần tìm các biện pháp để rèn luyện và phát triển tư duy logic
“Suy luận diễn dịch là quá trình vận dụng các quy tắc (gọi là các quy tắc suy diễn) để từ một hay nhiều mệnh đề đã biết là đúng mà suy ra những mệnh đề mới cũng đúng. Suy luận diễn dịch được gọi tắt là suy diễn.” [ ]
“Toán học là một khoa học suy diễn” (Polya). Có thể nói: Suy diễn là đặc trưng của suy luận toán học. Phát triển tư duy toán học thì phải coi trong rèn luyện cho học sinh khả năng suy diễn.
Việc đưa ra các biện pháp để rèn luyện và phát triển tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác sẽ rất đa dạng và phong phú. Không thể có các biện pháp chung duy nhất cho những ai muốn áp dụng. Tùy theo từng vị trí, môn học được phân công, bằng những nghiên cứu, hiểu biết, kinh nghiệm thực tiễn riêng, các giáo viên Toán khái quát thành các biện pháp của mình. Nhưng, bằng những hoạt động giáo dục môn toán, có thể có những vấn đề chung, qua kinh nghiệm, giao lưu, có thể tìm ra những vấn đề cốt lõi của phát triển tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác.
1. Một vài nhận xét về dạy học môn Toán hiện nay
Trong thực tế dạy học Toán, giáo viên chưa coi trọng hợp lý việc rèn luyện khả năng suy diễn, vẫn còn tồn tại các vấn đề sau (Tóm tắt theo Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận):
Thứ nhất, vẫn còn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe”. Chẳng hạn, khi dạy định lý vẫn còn thiên về lối giảng. Khi dạy một định lý, thầy tiến hành như nêu nội dung
định lý, nêu giả thiết, kết luận, nêu cách chứng minh định lý,..học sinh ít hoạt động. Quá trình dạy học như vậy là quá trình tuyến tính, không thích hợp.
Thứ hai, thầy giáo thường “bao biện” làm thay, suy diễn thay học sinh.
Thứ ba, Có những bước suy diễn mà với thầy giáo thì rất “tầm thường”, bởi thế nhầm tưởng rằng với học sinh cũng dễ như thế, do đó thầy lướt qua rất nhanh, không để cho học sinh suy nghĩ. “Thực ra thì không phải như vậy, trước khi trình bày một kiến thức nào đó thì thầy giáo đã làm việc với khá nhiều lần rồi, nhưng đối với học sinh, thì đây là lần đầu tiên được tiếp xúc với nó” (Trần Thúc Trình (chủ biên), Một số vấn đề rèn luyện tư duy trong việc dạy Hình học lớp Sáu, Nxb Giáo dục, Hà Nội).
Thứ tư, chưa sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập một cách hợp lý, mềm dẻo và linh hoạt đối với từng đối tượng học sinh. Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức. Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận diễn dịch, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển khả năng suy diễn cho học sinh.
Thứ năm, chưa khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau thông qua những bước suy diễn không cần phức tạp. “Logic của Toán học không chỉ bao gồm các diễn đạt và chứng minh riêng lẻ, mà còn ở tính hệ thống và hoàn chỉnh của nó”. Theo GS. Nguyễn Bá Kim: “Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo” Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, tr. 127).
Do đó, để hình thành và phát triển kỹ năng suy diễn cho học sinh, thì: “Điều cốt yếu của phương pháp dạy học là thiết lập môi trường có dụng ý sư phạm để người học có thể học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi”.
2. Phát triển khả năng suy diễn như thế nào?
i) Tạo cơ hội, nhiều tình huống để học sinh tập dượt, được tiến hành các hoạt động suy diễn. Giáo viên cần khai thác các nội dung, trong dạy khái niệm; dạy định lý; dạy giải bài tập toán. Không bỏ lỡ những tình huống cho dù với thầy giáo là rất dễ, “không gán ép sơ đồ logic của một trí óc đã hiểu được môn học cho một trí óc đang đấu tranh để hiểu được nó” (J. Dewey)
Ví dụ 1: Dạy về chiều biến thiên của hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a > 0) Sau khi lập tỷ số a(x x ) b x x y y + + = − − 2 1 1 2 1 2
, không nên đột nhiên thông báo cho học sinh rằng: Nếu x1 và x2 thuộc
− ;+∞ 2a b thì 0 1 2 1 2 > − − x x y y , mà có thể đưa ra câu hỏi: Biểu thức a(x1 + x2) + b sẽ chắc chắn dương nếu như x2 và x1 thuộc vào khoảng nào?
ii) Với một số tính chất; hệ quả có thể suy ra một cách trực tiếp từ định lý hay bài toán trước đó, mà không phải qua nhiều bước suy diễn, thì nên để học sinh độc lập chiếm lĩnh.
Viện sĩ A. Đ. Alecxanđrov đã khuyên: “Nếu chúng ta muốn dạy tư duy logic thì phải dạy chính nó chứ không phải dạy lập luận có sẵn. Vì vậy, các cách diễn đạt và các cách chứng minh phải được xem như là các bài tập về rèn luyện tư duy logic. Tự mình lĩnh hội được một vài kết luận nho nhỏ cũng có ích hơn nhiều, lý thú hơn nhiều so với học thuộc những lập luận xa lạ”.
Ví dụ 2: Sau khi học bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm x + y ≥2 xy, có thể nêu yêu cầu chứng minh rằng, nếu a và b là 2 số dương thì + ≥2
a b b a
. Tiếp theo đó, có thể yêu cầu học sinh đánh giá về xy +xy với x > 0, y <0.
iii) Chú trọng khai thác những tình huống, mà ở đó, hoạt động suy diễn sẽ dẫn tới những những áp dụng để giải quyết một số vấn đề có liên quan. Đồng thời lưu ý vấn đề gợi động cơ và truyền thụ tri thức phương pháp trong những trường hợp này.
Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học có thể được thể hiện ở các tư tưởng chỉ đạo sau:
• Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học;
• Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
• Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả hoạt động;
Người giáo viên Toán cần nghiên cứu kỹ các tư tưởng nói trên để vận dụng một cách sư phạm vào tập luyện cho học sinh của mình các hoạt động suy diễn.
Ví dụ 3: Dạy định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2.
Đây là một định lý quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông, có ứng dụng rất phong phú và tinh tế. Thực tiễn dạy học cho thấy, nhiều học sinh lớp 10, thậm chí học sinh cuối cấp Trung học phổ thông vẫn chưa biết sử dụng định lý này một cách hợp lý trong quá trình giải toán. Khi dạy định lý, có thầy cô dạy theo các bước: thầy nêu nội dung định lý; thầy tiến hành chứng minh định lý; thầy giải một số bài mẫu rồi ra bài tập cho học sinh bắt chước làm theo.
Vận dụng một cách sư phạm các tư tưởng chỉ đạo của lý thuyết hoạt động, có thể dẫn dắt để học sinh tự tìm ra định lý này bằng con đường suy diễn, khi đó tính tích cực của học sinh sẽ được phát huy và hiệu quả dạy học sẽ tốt hơn.
Để dẫn đến định lý đảo, có thể yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Từ định lý về dấu của tam thức bậc 2, hãy cho biết, trong trường hợp nào thì tồn tại một số α để f(α) trái dấu với hệ số a? (trả lời: Δ > 0).
Hãy so sánh α với các nghiệm của tam thức f(x)? (trả lời: x1 < α < x2).
Sau khi học sinh trả lời câu hỏi này, thầy giáo thực hiện khâu thể chế hóa, xác nhận định lý và tiếp tục nhấn mạnh: Trước đây, muốn chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta phải tính Δ và chứng minh Δ > 0. Tuy nhiên, điều đó không phải bao giờ cũng dễ dàng thực hiện được. Nay, có thêm một phương pháp mới, đó là chỉ ra một số α thích hợp sao cho af(α) < 0. Theo cách này, điều chủ yếu là phải “mò mẫm” tìm được số α, muốn thế phải dựa vào tính đặc thù của f(x) và có thể phải trải qua một số lần thử nhất định.
Để củng cố, có thể cho học sinh làm bài tập: Chứng minh rằng tam thức
f(x) = (x – m)(x – n) + (x – n) (x – p) + (x – p)(x – m) có hai nghiệm phân biệt, trong đó m < n < p.
iv) Tập luyện hoạt động suy diễn không tách rời quy nạp
Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc cảnh báo: “Trong việc giảng dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh” (Giáo dục học môn Toán tr. 90)
Phương pháp tư duy quy nạp đi từ cái cá biệt tới cái chung. Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn. Phương pháp suy luận quy nạp không hoàn toàn là phương pháp căn cứ vào đối tượng, bộ phận có thuộc tính riêng của loại sự vật nào đó, từ đó rút ra kết luận có tính chất chung về một thuộc tính nào đó. Phương pháp quy nạp không hoàn toàn có hai loại: Một là, phương pháp suy luận nêu lần lượt từng trường hợp đơn giản, hai là, phương pháp suy luận quy nạp khoa học. Phương pháp thứ nhất nêu từng việc giản đơn lấy kinh nghiệm của con người làm cơ sở có tác dụng nhận thức, khêu gợi trí tuệ, nhưng có hạn chế là chỉ dừng ở mức kinh