II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
2.4.2. Về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học
Như đã nói ở trên, các quan điểm về tư duy toán học là rất đa dạng. “Tư duy toán học có những nét, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những đặc điểm này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và quy định bởi tính đặc thù của phương pháp nghiên cứu” (Iu. Koliagin, V. A. Oganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L. Lucankin (1975), Phương pháp dạy Toán ở trường phổ thông).
Về cấu trúc tư duy toán học, cũng trong sách đã dẫn cho rằng các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:
(1) Tư duy cụ thể; (2) Tư duy trừu tượng; (3) Tư duy trực giác; (4) Tư duy hàm;
(5) Tư duy biện chứng; (6) Tư duy sáng tạo;
(7) Các phong cách toán học của tư duy.
Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể tách ra các thành phần: - Tư duy phân tích
- Tư duy logic
Cùng một nhóm tác giả ở trên, năm 1980, sau khi chỉnh lý lại cuốn sách, các thành tố tư duy được phát triển, tư duy toán học bao gồm các thành tố sau:
(1)Tư duy cụ thể; (2)Tư duy trừu tượng; (3) Tư duy trực giác; (4) Tư duy hàm
Tư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích, tư duy logic, tư duy không gian.
Có nhà nghiên cứu (Viện sĩ B. V. Gonhedenco) nói về những yêu cầu tư duy toán học đối với học sinh:
(1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
(2) Sự cô đọng;
(3) Sự chính xác của các ký hiệu;
(4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
(5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về logic.
Theo nhà toán học A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: (1) Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế;
(2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất để đến mục đích; (3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;
(4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ;
(5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
Lại theo A. I. Marcusevich, những kỹ năng (kỹ năng tư duy toán học) cần phải bồi dưỡng cho học sinh trong dạy học toán là:
(1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;
(2) Kỹ năng rút ra hệ quả logic từ những tiên đề đã cho;
(3) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ chưa bao quát hết mọi khả năng;
(4) Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt những vấn đề mới ở dạng khái quát;
(5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ hiện tượng, sao cho trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
(6) Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận, biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, trong Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học đã nói đến bảy loại tư duy toán học: Tư duy logic hình thức, tư duy biện chứng, tư duy quản lý, tư duy kỹ thuật, tư duy kinh tế, tư duy thuật toán, tư duy hình tượng.
III. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy học môn Toán