II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
3.2.2.3. Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy trừu tượng
Như đã phân tích ở trên, năng lực cơ bản của tư duy là trừu tượng hoá, khái quát hoá trên cơ sở phân tích và tổng hợp. Trừu tượng hoá được coi như là năng lực tinh thần
cơ bản nhất của tư duy con người. Vì thế, tính sâu sắc của tư duy cũng chính là tính logic trừu tượng cao độ của tư duy Toán học. “Sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên các bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn những khái niệm nhóm, vành, trường, không gian vectơ.v.v…”
Để có năng lực tư duy, học sinh phải được rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng, biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một cách sáng tạo vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn. Để nâng cao tính tư duy trừu tượng cần:
(1) Học sinh phải từng bước nắm vững những phương pháp tư duy toán học thường dùng như phân tích và tổng hợp, quy nạp và diễn dịch, tổng quát hóa và đặc biệt hóa,…
(2) Tự giác vận dụng quy luật tư duy, các khái niệm, định lý, công thức, quy tắc trong toán học để phán đoán và suy luận chính xác, chứng minh một cách hợp lý.
(3) Suy nghĩ đặt vấn đề một cách độc lập, tự tìm cách giải quyết và lựa chọn phương án tối ưu. Muốn thế, phải suy nghĩ một cách toàn diện, chi tiết, phải xem xét hết mọi điều kiện liên quan, suy nghĩ đến mọi trường hợp có thể.
(4) Bồi dưỡng và vun đắp cho sức tưởng tượng cần thiết cho đặt và phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, tập dượt nghiên cứu khoa học.
Ví dụ 21: Nếu ở trường đại học sư phạm. Một trong những quan điểm đào tạo đúng đắn hiện nay đó là coi trọng đào tạo năng lực, đặc biệt là năng lực sư phạm cho sinh viên. Việc tổ chức sinh viên tự nghiên cứu sâu chương trình, sách giáo khoa toán ở phổ thông là vừa bồi dưỡng năng lực tư duy trừu tượng, vừa phát triển năng lực nghiệp vụ sư phạm. Có thể tổ chức cho sinh viên thực hiện các bài tập lớn như: “Sưu tầm, phân loại và giải các bài toán có liên quan đến đa giác và diện tích đa giác”, hay: “Hệ thống hóa các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong sách giáo khoa và các sách bài tập Toán, bình luận và đề xuất các kiến nghị và các bài toán hay”.
Ví dụ 22: Tồn tại hay không phương trình với hệ số nguyên: ax2 + bx + c = 0 (1)
(a + 1)x2 + (b + 1)x + (c + 1) = 0 (2) Sao cho mỗi phương trình đều có hai nghiệm nguyên.
Phân tích: Ta dựa vào công thức Viet để tìm tổng và tích các nghiệm, từ đó sẽ suy ra quan hệ giữa a, b, c và tìm ra kết quả.
Lời giải: Giả sử tồn tại hai phương trình (1) và (2) thỏa mãn điều kiện của bài toán Gọi x1 và x2 là các nghiệm của (1) và y1, y2 là các nghiệm của (2), khi đó a, b, c, x1, x2, y1, y2 là các số nguyên.
Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, ta có x1 + x2 = Z b a a b ⇒ ∈ − , suy ra b chẵn x1.x2 = Z c a a c ⇒ ∈ , suy ra c chẵn Vậy a, b, c chẵn suy ra a +1, b + 1, c + 1 lẻ ∈ + + = 1 1 . 2 1 a c y y Z và do c + 1 và a + 1 lẻ nên y1, y2 lẻ ⇒ 1 1 2 1 + + − = + a b y
y chẵn suy ra b + 1 chẵn, trái với điều suy ra ở trên b + 1 chẵn. Vậy không tồn tại hai phương trình thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Khai thác bài toán:
Do áp dụng công thức Viét về tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai, ta giải được bài toán. Vì vậy, có thể tính được các biểu thức đối xứng của các nghiệm của phương trình bậc hai.
Bài toán: Cho x1, x2 và y1, y2 thứ tự là các nghiệm của các phương trình: x2 – mx + 1 = 0 và x2 – nx + 1 = 0
Tính biểu thức: A = (x1y1 + x1y2)(x2y1 – x2y2)
Để tự học Toán tốt, đòi hỏi tính sâu sắc của tư duy trừu tượng Toán, biểu hiện như sau: a/ Phải coi trọng việc nắm vững, sâu sắc bản chất khái niệm; b/ Coi trọng việc nắm vững mối quan hệ giữa các khái niệm, sự vận dụng khái niệm, vấn đề toán học trong thực tiễn; c/ Rất chú ý tính logic, chặt chẽ trong phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
Ví dụ 23: Việc hiểu khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử, để dạy có chất lượng khái niệm này, giáo viên cần nắm vững, sâu sắc các định nghĩa tổ hợp:
“Tổ hợp chập k từ n phần tử là cách chọn không phân biệt thứ tự k phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho, mỗi phần tử không được lấy lặp lại”. Hay là: “Cho tập X={x1, x2,…xn}. Một tổ hợp chập k của n phần tử của X là một tập con của tập X gồm k phần tử không kể thứ tự. Ký hiệu số tổ hợp chập k khác nhau của n phần tử là: k
n C ”.
Có thể xem xét bài toán tổ hợp theo quan điểm ánh xạ: Cho tập X có n phần tử X = {x1, x2,…xn}, tìm số tổ hợp chập k của n phần tử tức là tìm số tập con của X
có k phần tử. Ta ký hiệu số tập con cần tìm làCnk, giả sử A ⊂ X. A là một trong các tập con của X; A = {x1, x2,…xk}. Từ tập A có k! phép thế của các phần tử x1, x2,…xk. Mỗi một phép thế này là một chỉnh hợp không lặp từ n phần tử theo k. Rõ ràng nếu hai tập con A và B khác nhau thì các phép thế tương ứng cũng khác nhau. Như vậy, tập tất cả các phép thế không lặp theo k từ n phần tử được chia thành k
n C lớp, mỗi lớp chứa k! phép thế, từ đó: ! ! !( )! k k n n A n C k k n k = =
− . Công thức này liên hệ mật thiết đến việc đếm các ánh xạ. Thật vậy, giả sử rằng các tập X và Y tương ứng có k và n
phần tử sắp thứ tự tuyến tính (chặt), và giả sử các ánh xạ từ X vào Y bảo tồn thứ tự, nghĩa là x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2), bởi vì x1≠ x2 nên f(x1) ≠ f(x2) nên ánh xạ như vậy là đơn ánh và từ đó N(f(X)) = k. Nghĩa là số ánh xạ từ X vào Y bảo tồn thứ tự bằng số tập con trong Y chứa k phần tử, bằng Cnk.