II. NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC 2.1 Toán học về phương diện một khoa học
2.1.3. Các giai đoạn phát triển cơ bản của toán học
Là một khoa học phát triển từ rất sớm, toán học có những giai đoạn phát triển cơ bản. Theo nhà toán học người Nga, Konmogorov A. N. Toán học có bốn giai đoạn phát triển như sau (có lẽ đây là quan niệm mà nhiều người thừa nhận nhất):
a/ Giai đoạn phát sinh toán học: Bắt đầu từ thời kỳ xa xưa nhất của loài người nguyên thủy, kéo dài đến thế kỷ thứ VI, thứ V trước Công nguyên, lúc mà toán học trở thành một khoa học độc lập, có đối tượng và phương pháp nghiên cứu riêng. Đặc điểm của giai đoạn này là việc tích lũy các sự kiện toán học cụ thể trong khuôn khổ một khoa học chung.
b/ Giai đoạn Toán học sơ cấp: Từ thế kỷ thứ VI, thứ V trước Công nguyên đến thế kỷ XVI sau Công nguyên. Đặc điểm của giai đoạn này là việc nghiên cứu các đại lượng không đổi. Toán học dạy ở trường phổ thông Việt Nam và nhiều nước trên thế giới hiện nay có thể cho ta một khái niệm về thành tựu của giai đoạn này.
c/ Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển: Từ thế kỷ XVII đến giữ thế kỷ XIX. Đặc điểm của giai đoạn này là việc sáng tạo ra toán học của các đại lượng biến thiên. Trong giai đoạn này, đối tượng chủ yếu của toán học là các quá trình, các chuyển động. Giai đoạn này mở đầu bằng việc đưa đại lượng biến thiến vào Hình học giải tích của Đề các, Phép tính vi tích phân của Newton, Leybnit. Phần lớn kiến thức ở giai đoạn này được dạy ở những năm đầu các trường đại học, cao đẳng.
d/ Giai đoạn Toán học hiện đại: Từ giữa thế kỷ XIX đến nay. Người ta thường xem mở đầu của giai đoạn này là phát minh to lớn của Lobasevski và Bolyai về hình học Phi Ơclit, là sự ra đời của đại số hiện đại. Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của Toán học đã mở ra rất rộng, nhiều lý thuyết toán học mới xuất hiện, vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Toán học đã trở thành một khối thống nhất với nền tảng chung và với những phương pháp chung. Trong Toán học có sự phân ngành sâu sắc và giữa Toán học với các khoa học khác có hiện tượng liên ngành chặt chẽ. Phạm vi ứng dụng của Toán học được mở rộng chưa từng thấy.
Như vậy, quá trình phát triển của khoa học toán học là quá trình không ngừng tiến lên trên con đường khái quát hóa và trừu tượng hóa. Về phương diện là một khoa học thì toán học phát triển theo các quy luật khách quan. Toán học là một
trong các hình thái ý thức xã hội của loài người, cho nên các quy luật chi phối sự phát triển của toán học về cơ bản và chủ yếu là những quy luật chung của mọi hình thái ý thức xã hội.
Về phương diện là một khoa học, Toán học là khoa học có một hệ thống các khái niệm, nguyên lý, phương pháp, hình thành các lý thuyết toán học khác nhau, phát sinh và phát triển cùng với sự phát triển của xã hội loài người. Toán học là khoa học có hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Ơclit nhưng nó cũng là khoa học vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Ơclit, toán học là một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học trong quá trình tìm tòi, sáng tạo lại là một khoa học thực nghiệm và qui nạp. Toán học hình thành và phát triển như thế nào thì cả hai hình thái nói trên đều hình thành và phát triển như thế. Hệ thống suy diễn chặt chẽ từ các tiên đề của hình học Ơclit đã chi phối toán học trong một thời gian dài và có sức mạnh vượt trội. Tuy nhiên, không được cực đoan, tuyệt đối hóa nó, mà không coi trọng những yếu tố kiến thiết, phương pháp qui nạp, thực nghiệm, tưởng tượng, quá trình tư duy tiền logic,.. thì đó là một sai lầm to lớn và chưa hiểu khoa học toán học.
Phương pháp suy diễn, không hiểu rõ sẽ tưởng là giáo điều, máy móc, nhưng sức mạnh của nó lại cho phép chiếm lĩnh một cách nhanh chóng, đúng đắn nhiều lĩnh vực lớn. Tuy nhiên, phương pháp kiến thiết của Socrat đi từ cái riêng đến cái chung, thoát khỏi giáo điều máy móc nhờ có tư tưởng tự do, độc lập, sáng tạo là con đường nghiên cứu đi đến chân lý, với ưu thế vượt trội không gì hơn được. Tạo hóa cho con người sức mạnh qua phép suy diễn, nhưng đồng thời lại bổ sung bằng hình tượng trực quan, tư tưởng tự do, khái quát hóa và tổng quát hóa liên tiếp lại được cân bằng bởi đặc biệt coi trọng cái đặc biệt hóa, cái riêng, cái đơn nhất.
Như mọi khoa học khác, nhu cầu thực tiễn là động lực của toán học. Phương pháp tiên đề là một phong cách tư duy của toán học hiện đại. Khi nói đặc trưng của phương pháp toán học là trừu tượng hóa thì con người không được quên một mặt quan trọng khác của phương pháp toán học là cụ thể hóa. Khi nhấn mạnh đặc trưng của phương pháp toán học là phương pháp suy diễn thì cũng không thể quên một mặt khác của toán học là phương pháp dự đoán, mò mẫm, phương pháp qui nạp. Tóm lại, đặc trưng của phương pháp toán học là kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp qui nạp và phương pháp suy diễn.