IV. ệÙNG DÚNG TÍCH PHAĐN TÍNH THEƠ TÍCH VAễT THEƠ TROỉN XOAY Cođng thửực:
GIẠI TOAÙN HèNH KHOĐNG GIAN
PHệễNG PHÁP:
Bửụực 1: Chún heụ trỳc toỏ ủoụ Oxyz thớch hụùp (chuự yự ủẽn vũ trớ cụa gõc O)
Bửụực 2: Xaực ủũnh toỏ ủoụ caực ủieơm coự lieđn quan
(coự theơ xaực ủũnh toỏ ủoụ tãt cạ caực ủieơm hoaịc moụt sõ ủieơm caăn thiẽt) Khi xaực ủũnh túa ủoụ caực ủieơm ta coự theơ dửùa vaứo :
• Ý nghúa hỡnh húc cụa túa ủoụ ủieơm (khi caực ủieơm naỉm tređn caực trỳc túa ủoụ, maịt phaỳng túa ủoụ).
• Dửùa vaứo caực quan heụ hỡnh húc nhử baỉng nhau, vuođng goực, song song ,cuứng phửụng , thaỳng haứng, ủieơm chia ủúan thaỳng ủeơ tỡm túa ủoụ
• Xem ủieơm caăn tỡm laứ giao ủieơm cụa ủửụứng thaỳng, maịt phaỳng.
• Dửỏ vaứo caực quan heụ veă goực cụa ủửụứng thaỳng, maịt phaỳng.
Bửụực 3: Sửỷ dỳng caực kiẽn thửực veă toỏ ủoụ ủeơ giại quyẽt baứi toaựn Caực dỏng toaựn thửụứng gaịp:
• ẹoụ daứi ủúan thaỳng
• Khoạng caựch tửứ ủieơm ủẽn maịt phaỳng
• Khoạng caựch tửứ ủieơm ủẽn ủửụứng thaỳng
• Khoạng caựch giửừa hai ủửụứng thaỳng
• Goực giửừa ủửụứng thaỳng vaứ maịt phaỳng
• Goực giửừa hai maịt phaỳng
• Theơ tớch khõi ủa dieụn
• Dieụn tớch thiẽt dieụn
• Chửựng minh caực quan heụ song song , vuođng goực
• Baứi toaựn cửùc trũ, quyừ tớch
Boơ sung kiẽn thửực :
1) Nẽu moụt tam giaực coự dieụn tớch S thỡ hỡnh chiẽu cụa noự coự dieụn tớch S' baỉng tớch cụa S vụựi cosin cụa goực ϕgiửừa maịt phaỳng cụa tam giaực vaứ maịt phaỳng chiẽu
S' =S.cosϕ
2) Cho khõi choựp S.ABC. Tređn ba ủửụứng thaỳng SA, SB, SC lãy ba ủieơm A', B', C' khaực vụựi S Ta luođn coự: VV SASA SBSB SCSC ABC S C B A S ' ' ' . ' ' ' . = . .
MOễT SÔ VÍ DÚ MINH HểA
Baứi 1: Cho hỡnh choựp SABC coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuođng cỏnh baỉng a, SA=a 3 vaứ vuođng goực vụựi ủaựy
1) Tớnh khoỷang caựch tửứ A ủẽn maịt phaỳng (SBC).
2) Tớnh khoỷang caựch tửứ tađm O hỡnh vuođng ABCD ủẽn maịt phaỳng (SBC). 3) Tớnh khoạng caựch tửứ trúng tađm cụa tam giaực SAB ủẽn maịt phaỳng (SAC).
Baứi 2: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuođng tađm O cỏnh baỉng a, SO vuođng goực vụựi
ủaựy.Gúi M,N theo thửự tửù laứ trung ủieơm SA vaứ BC. Biẽt raỉng goực giửừa MN vaứ (ABCD) baỉng 600
1) Tớnh MN vaứ SO.
2) Tớnh goực giửừa MN vaứ maịt phaỳng (SBD) .
Baứi 3: Cho hỡnh thoi ABCD tađm O, cỏnh baỉng a vaứ AC=a, Tửứ trung ủieơm H cụa cỏnh AB dửùng
SH⊥(ABCD) vụựi SH=a
1) Tớnh khoạng caựch tửứ O ủẽn maịt phaỳng (SCD). 2) Tớnh khoạng caựch tửứ A ủẽn maịt phaỳng (SBC).
Baứi 4: Cho goực tam dieụn Oxyz, tređn Ox, Oy, Oz lãy caực ủieơm A,B,C
1) Haừy tớnh khoạng caựch tửứ O ủẽn maịt phaỳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c . 2) Giạ sửỷ A cõ ủũnh coứn B, C thay ủoơi nhửng luođn thoỷa maừn OA=OB+OC . Haừy xaực ủũnh vũ trớ cụa B vaứ C sao cho theơ tớch tửự dieụn OABC laứ lụựn nhãt.
Baứi 5: Cho tửự dieụn OABC (vuođng tỏi O), biẽt raỉng OA,OB,OC laăn lửụùt hụùp vụựi maịt phaỳng (ABC) caực
goực α,β,γ. Chửựng minh raỉng: 1) α β γ
2) 2 2 2 2ABC ABC OCA OBC OAB S S S S∆ + ∆ + ∆ = ∆
Baứi 6: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuođng cỏnh baỉng a, SA vuođng goực vụựi ủaựy. Gúi M,N laứ hai ủieơm theo thửự tửù thuoục BC,DC sao cho , 34
2
a DN a
BM = = . CMR hai maịt phaỳng (SAM) vaứ (SMN) vuođng goực vụựi nhau.
Baứi 7: Cho tam giaực ủeău ABC cỏnh a. Gúi D laứ ủieơm ủõi xửựng vụựi A qua BC. Tređn ủửụứng thaỳng vuođng goực vụựi maịt phaỳng (ABC) tỏi D lãy ủieơm S sao cho SD=a26 , CMR hai maịt phaỳng (SAB) vaứ (SAC) vuođng goực vụựi nhau.
Baứi 8: Trong khođng gian cho caực ủieơm A,B,C theo thửự tửù thuoục caực tia Ox, Oy, Oz vuođng goực vụựi nhau tửứng ủođi moụt sao cho OA=a , OB=a 2. OC=c (a,c>0). Gúi D laứ ủieơm ủõi dieụn vụựi O cụa hỡnh chửừ nhaụt AOBD vaứ M laứ trung ủieơm cụa ủúan BC. (P) laứ maịt phaỳng qua A,M vaứ caĩt maịt phaỳng (OCD) theo moụt ủửụứng thaỳng vuođng goực vụựi AM.
a) Gúi E laứ giao ủieơm cụa (P) vụựi OC , tớnh ủoụ daứi ủúan OE.
b) Tớnh tư sõ theơ tớch cụa hai khõi ủa dieụn ủửụùc tỏo thaứnh khi caĩt khõi choựp C.AOBD bụỷi maịt phaỳng (P).
c) Tớnh khoạng caựch tửứ C ủẽn maịt phaỳng (P).
Baứi 9: Cho tửự dieụn SABC coự SC=CA=AB=a 2, SC⊥(ABC), ∆ABC vuođng tỏi A, caực ủieơm M thuoục SA vaứ N thuoục BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a)
1) Tớnh ủoụ daứi ủoỏn MN. Tỡm giaự trũ cụa t ủeơ MN ngaĩn nhãt.
2) Khi ủoỏn MN ngaĩn nhãt, chửựng minh MN laứ ủửụứng vuođng goực chung cụa BC vaứ SA.
Baứi 10: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thoi coự AC=4, BD=2 vaứ tađm O.SO=1 vuođng goực vụựi ủaựy. Tỡm ủieơm M thuoục ủoỏn SO caựch ủeău hai maịt phaỳng (SAB) vaứ (ABCD).
Baứi 11: Cho hỡnh laụp phửụng ABCD.A'B'C'D' cỏnh baỉng a. Gúi M,N theo thửự tửù laứ trung ủieơm cụa caực cỏnh AD,CD. Lãy P∈BB'sao cho BP=3PB'. Tớnh dieụn tớch thiẽt dieụn do (MNP) caĩt hỡnh laụp phửụng .
Baứi 12: Cho hỡnh hoụp chửừ nhaụt ABCD.A'B'C'D' coự AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tớnh theo a khoạng caựch giửừa AD' vaứ B'C.
2) Gúi M laứ ủieơm chia ủúan AD theo tyỷ sõ =3
MDAM AM
. Haừy tớnh khoạng caựch tửứ M ủẽn maịt phaỳng (AB'C).
3) Tớnh theơ tớch tửự dieụn AB'D'C.
Baứi 13: Cho hỡnh laụp phửụng ABCD.A'B'C'D' cỏnh baỉng a..Gúi M, N laứ trung ủieơm cụa BC vaứ DD' 1) CMR ' ( ' ) BD A AC ⊥ . 2) CMR MN//(A'BD).
3) Tớnh khoạng caựch giửừa BD naứ MN theo a
Baứi 14: Cho laớng trỳ ABCD.A'B'C'D' coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thoi tađm O cỏnh baỉng a, goực A=600 . B'O vuođng goực vụựi ủaựy ABCD, cho BB'=a
1) Tớnh goực giửừa cỏnh beđn vaứ ủaựy.
2) Tớnh khoạng caựch tửứ B, B' ủẽn maịt phaỳng (ACD').
Baứi 15: Cho hỡnh vuođng ABCD cỏnh baỉng a tađm I . Tređn hai tia Ax, By cuứng chieău vaứ cuứng vuođng goực vụựi maịt phaỳng (ABCD) laăn lửụùt lãy hai ủieơm M,N . ẹaịt AM=x, CN=y
1) Tớnh theơ tớch hỡnh choựp ABCMN.
2) CMR ủieău kieụn caăn vaứ ủụ ủeơ goực MIN=900 laứ 2xy=a2 .
Baứi 16: Cho hỡnh choựp S.ABC coự ủaựy laứ tam giaực vuođng cađn ABC vụựi cỏnh huyeăn AB = 4
2 Cỏnh beđn SC (ABC)⊥ vaứ SC = 2 .Gúi M laứ trung ủieơm cụa AC, N laứ trung ủieơm AB 1) Tớnh goực cụa hai ủửụứng thaỳng SM vaứ CN
2) Tớnh ủoụ daứi ủúan vuođng goực chung cụa SM vaứ CN.
Baứi 17: Cho hỡnh laụp phửụng ABCD.A'B'C'D' coự cỏnh baỉng 1
1) Gúi M, N laăn lửụùt laứ trung ủieơm cụa AD, BB' .Chửựng minh raỉng A C MN' ⊥ .Tớnh ủoụ daứi ủúan MN
2) Gúi P laứ tađm cụa maịt CDD'C' . Tớnh dieụn tớch ∆MNP.
Baứi 18: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABC laứ tam giaực ủeău cỏnh a vaứ cỏnh beđn SA vuođng goực vụựi maịt phaỳng ủaựy (ABC) . Tớnh khoạng caựch tửứ ủieơm A tụựi maịt phaỳng (SBC) theo a, biẽt raỉng SA=a 6
2 .
Baứi 19: Cho tửự dieụn OABC coự ba cỏnh OA;OB;OC ủođi moụt vuođng goực . Gúi ; ;α β γ laăn lửụùt laứ caực goực giửừa maịt phaỳng (ABC) vụựi caực maịt phaỳng (OBC); (OCA) vaứ (OAB). Chửựng minh raỉng :
cosα +cosβ +cosγ ≤ 3
Baứi 20: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuođng cỏnh a , SA vuođng goực vụựi maịt phaỳng (ABCD) vaứ SA=a . Gúi E laứ trung ủieơm cụa cỏnh CD . Tớnh theo a khoạng caựch tửứ ủieơm S ủẽn ủửụứng thaỳng BE.
Baứi 21: Cho laớng trỳ ủửựng ABC.A'B'C' coự ủaựy ABC laứ tam giaực cađn vụựi AB = AC = a vaứ goực BAC = 1200, cỏnh beđn BB' = a. Gúi I laứ trung ủieơm CC'. Chửựng minh raỉng tam giaực AB'I vuođng ụỷ A. Tớnh cosin cụa goực giửừa hai maịt phaỳng (ABC) vaứ (AB'I).