8.1. Bài toán 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Điểm M thoả mãn SM=SA/3. P, R theo thứ tự là các điểm trên các cạnh BC, SD. Dựng thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(MPR). Biện luận bài toán theo vị trí di động của các điểm P, R trên các cạnh BC và SD nói trên.
Phân tích bài toán
Từ giả thiết của bài toán 1, điểm M nằm trên cạnh SA và SM = 1/3SA. Giả sử P, R là 2 điểm bất kỳ trên các cạnh BC, SD, theo phương pháp vết, bạn đọc có thể dễ dàng xác định được các điểm Q thuộc CD, N thuộc SB và do đó thiết diện là đa giác phẳng MNPQR.
Các bước dựng hình
Bước 1: Dựng 4 đoạn thẳng a, b, c, d có độ dài tương ứng với độ dài 3 cạnh đáy và 1 cạnh bên của hình chóp.
Bước 2 : Dựng tứ giác ABCD với 3 cạnh AB = a, BC = b, CD = c, dựng cạnh bên SA của hình chóp sao cho SA = d (vẽ đường tròn tâm A, bán kính bằng độ dài đoạn thẳng a, xác định điểm B thuộc đường tròn, tiếp tục vẽ đường tròn tâm B, bán kính b, xác định điểm C thuộc đường tròn,.. ). Nối các đoạn AB, BC, CD, SA, SB, SC, SD. Riêng đoạn AD nối bằng nét đứt (kích chọn đoạn thẳng AD, vào menu Display/Line Style, đánh dấu Dashed hoặc kích chuột phải chọn Line Style/Dashed).
Bước 3 : Để xác định điểm M thuộc SA sao cho SM = 1/3SA bạn có thể thực hiện theo cách sau (còn nhiều cách khác):
- Đánh dấu điểm S, chọn mục Mark center ″S″ từ menu Transform để chọn tâm tỉ lệ.
- Kích chọn cùng lúc điểm S và đoạn thẳng SA.
- Từ menu Transform chọn mục Dilate. Trong hộp thoại Dilate, xác định tỉ lệ là 1/3 với tâm tỉ lệ là điểm S. Kích nút OK để vẽ đoạn thẳng có độ dài bằng 1/3 SA.
- Kích chọn cùng lúc điểm S và đoạn thẳng vừa vẽ, thực hiện lệnh Construct/Circle By Center And Radius để vẽ đường tròn tâm O.
- Giao điểm của đường tròn với đoạn SA chính là điểm M cần xác định. Làm ẩn đường tròn và đoạn thẳng để không bị rối hình.
Bước 4 :Chọn điểm P trên cạnh BC, R trên cạnh SD. Cho điểm P chuyển động trên cạnh BC, điểm R chuyển động trên cạnh SD. Các bước thực hiện như sau:
- Chọn cùng lúc (giữ phím shift) điểm P (R) và đoạn BC (SD).
- Vào menu Edit/Action Button chọn Animation, hộp thoại Path Match xuất hiện cho phép bạn xác định kiểu di chuyển cũng như tốc độ của chuyển động.
Kích chuột vào nút để chọn tốc độ và kiểu phù hợp. Trong bài toán này bạn chọn tốc độ chuyển động là Slowly (chậm), kiểu di chuyển là Bidirectionally (chuyển động liên tục theo hai chiều xuôi-ngược).
- Nhấn nút Animate để tạo nút cho hiệu ứng di chuyển. Để đổi tên nút Animate, bạn chọn công cụ , kích đúp chuột trên nút Animate, đặt tên nút mới trong hộp thoại Relabel. Hoàn toàn có thể sử dụng tiếng Việt để đặt tên cho các nút.
Bước 5 : Dựng đường thẳng qua MR, dựng đường thẳng qua AD, lấy giao điểm E của hai đường thẳng này. Dựng đường thẳng qua EP, lấy giao điểm Q của đường thẳng EP và cạnh CD. Dựng đường thẳng qua AB, lấy giao điểm F của đường thẳng EP và đường thẳng qua AB. Nối MF rồi lấy giao điểm N của MF và SB.
Bước 6 : Nối MN, NP, RQ. Riêng MR, PQ nối bằng nét đứt. Chọn đồng thời các điểm MNPQR rồi bấm tổ hợp phím Ctrl +P để chọn màu cho thiết diện MNPQR. Chọn các đường thẳng không cần thiết làm rối hình bằng cách bấm tổ hợp phím Ctrl + H (ẩn đi).
Bước 7 : Bấm đúp vào các nút chuyển động P và R để quan sát sự chuyển động của thiết diện tạo thành. Ta nhận thấy, thiết diện lúc là ngũ giác, lúc là tứ giác, lúc là tam giác (phục vụ cho biện luận bài toán tuỳ theo vị trí di động của các điểm P, R trên các cạnh BC và SD).
8.2. Bài toán 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x2-2x-3 Các bước dựng đồ thị
Bước 1 : Vào menu Graph/Create Axes, để vẽ hệ tọa độ vuông góc.
Bước 2 : Lấy điểm C thuộc trục Ox (chọn trục Ox, vào menu Construct, chọn Point On Object).
Bước 3 : Xác định toạ độ điểm C bằng cách kích chọn điểm C, trong menu Measure chọn mục Coordinates.
Bước 4 : Tìm giá trị y của phương trình y = x2 - 2x - 3 theo các bước:
- Nháy đúp chuột vào toạ độ điểm C trên màn hình, hộp thoại Caculator xuất hiện cho phép bạn thực hiện việc tính toán.
- Vào mục Values chọn Point C, chọn x, khi đó giá trị hoành độ của điểm C được đưa ra.
Kích nút OK để tính giá trị x
- Kích đúp vào toạ độ điểm C, trong hộp thoại Caculator, sử dụng các toán tử nhân (*), trừ (-), toán hạng xc, 2, 3 để tính giá trị của y theo phương trình y = x2 - 2x - 3. Kích nút OK để tính giá trị y.
Bước 5 : Với giá trị của x và y vừa tính toán, bạn vẽ điểm M(x,y) trên trục toạ độ bằng cách:
- Chọn đồng thời giá trị của x và y.
- Vào menu Graph chọn mục Plot As(x,y).
Bước 6 : Chọn điểm M, vào menu Display, chọn Trace Point.
Bước 7 : Tạo hiệu ứng chuyển động cho điểm C trên trục Ox.
Bước 8 : Thực thi chương trình: Kích đúp chuột vào nút tạo hiệu ứng, bạn sẽ thấy điểm C chuyển động trên trục Ox, đồ thị của hàm số y = x2 - 2x - 3 là 1 parabol. Thôi xem:
Kích chuột trái.
Chú ý: Khi bấm chuột trái lần nữa, đồ thị biến mất, để khắc phục điều này bạn có thể:
Chọn cả 2 điểm C và M, vào menu Construct, chọn Locus (quỹ tích), xuất hiện trên bản vẽ đồ thị Parabol. Để chọn màu cho đồ thị, chọn điểm M, vào menu Display/Color, chọn màu trong bảng màu.
Điều tuyệt vời của các bài toán hình học không gian và hình học giải tích được biên soạn trong Geometer′s Sketchpad là có hiệu ứng động thật ấn tượng, không phải lập trình thời gian thiết kế ngắn kỷ lục,thậm chí chỉ vài phút .. Đây chính là những ưu việt mà không phải phần mềm nào cũng có được!
8.3 Thiết kế mô hình ellip
Không giống như các hình hình học quen thuộc khác như đường tròn, đường thẳng, mặt cầu, hình chóp…, học sinh ít gặp các đường conic trong thực tế hàng ngày, vì vậy việc thiết kế các mô hình dạy học là cần thiết để giúp các em nắm bắt các khái niệm này dễ dàng hơn.
8.3.1. Xây dựng đường ellip
Chúng ta sẽ xây dựng đườn ellip dựa vào bài toán sau: 'Cho đường tròn tâm O bán kính R. F là một điểm cố định ở trong đường tròn và A là điểm di động trên (O).
Đường trung trực của FA cắt OA tại M. Quỹ tích của những điểm M là một ellip'.
Các bước dựng :
- Dựng đường tròn (O;R) bằng công cụ compa, đặt tên điểm điều khiển đường tròn là R;
- Lấy điểm F ở trong (O);
- Đánh dấu đường tròn, chọn Point on Circle trong menu Construct và đặt tên điểm mới
- Xây dựng đoạn thẳng FA, đường thẳng OA;
- Chọn đoạn thẳng FA, thực hiện lệnh Construct / Midpoint ta sẽ được trung điểm H của đoạn FA;
- Đường thẳng trung trực của đoạn FA được dựng bằng cách chọn đoạn FA, điểm H, vào menu Construct, click Perpendicular line;
- Sau đó chọn đường thẳng OA và đường trung trực mới dựng được, chọn Intersection trong menu Construct ta sẽ có giao điểm M;
- Để thấy được vết của điểm M khi A chuyển động trên (O), ta chọn điểm M và thực hiện lệnh Display / Trace Intersection;
- Tạo nút điều khiển sự chuyển động của điểm A: chọn A, vào Edit / Action Buttons / Animation / Label gừ từ 'chuyển động' / OK. Trờn màn hỡnh Sketchpad sẽ xuất hiện hộp điều khiển 'chuyển động' mà khi ta kích con trỏ vào đấy điểm A sẽ chuyển động quanh (O), chuyển động này sẽ ngừng khi ta kích trở lại vào hộp điều khiển.
Dễ thấy quỹ tích của điểm M là một ellip có tiêu điểm O và F vì MO+MF=OA=R.
- Save tất cả dưới tên file ellip.gsp
8.3.2. Thiết kế mô hình 'trái đất chuyển động xung quanh mặt trờí
Quỹ đạo của trái đất khi quay quanh mặt trời là một đường ellip mà mặt trời là một tiêu điểm.
Các bước dựng :
- Copy tất cả từ file ellip.gsp sang file mới.
- Thực hiện lệnh Edit / Preferences / Color, đánh dấu vào ô Fade Traces Over Time, kéo thanh trượt sát về phía Slow / OK. Khi đó vết của điểm M sẽ mất dần theo thời gian.
- Mở rộng (O) bằng cách kéo điểm R ra xa. Thay đổi vị trí điểm F (sao cho nó vẫn ở trong đường tròn) để được hình ellip có kích thước bạn ưng ý.
- Dấu tất cả các đối tượng (Display / Hide Objects) trừ diểm M và O (hoặc F) và hộp điều khiển 'chuyển động'.
- Vẽ mặt trời:
- Dùng công cụ compa dựng đường tròn tâm O, dấu điểm điều khiển đường tròn, tâm O và đặt tên cho đường tròn là 'mặt trờí;
- Tô màu đỏ cho đường tròn và phần trong của đường tròn (Construct / Interior).
- Vẽ trái đất:
- Dựng đoạn thẳng r có độ dài nhỏ hơn bán kính mặt trời; dựng đường tròn (M;r) và đặt tên cho đường tròn là 'trái đất'; dấu đoạn thẳng r;
- Tô màu xanh lá mạ cho điểm M, đường tròn vừa dựng và phần trong của đường tròn.
- Vẽ vũ trụ:
- Vào Edit / Preferences / Color đổi màu nền Background thành màu xám (đen);
- Dùng công cụ xây dựng điểm tạo ra những điểm sáng xem như là những hành tinh trong
vũ trụ.
Như vậy, khi dùng con trỏ kích vào hộp điều khiển 'chuyển động' ta sẽ có hình ảnh của trái đất chuyển động quanh mặt trời trong vũ trụ.
8.4. Thiết kế mô hình Hyperbol 8.4.1. Xây dựng đường hyperbol
- Mở file ellip.gsp, kéo điểm F ra ngoài (O). Lúc này, khi điểm A chuyển động trên (O) thì vết của những điểm M là một hyperbol có tiêu điểm O, F vì /MO - MF/=OA=R.
- Chúng ta vẽ quỹ tích của điểm M bằng cách chọn hai điểm M, A, vào Construct click Locus. Sau đó, chọn điểm M vào Display / Trace Intersection để xóa vết của điểm M.
- Save as dưới tên file hypebol.gsp
8.4.2. Thiết kế mô hình 'chiếc đèn bàn'
Quan sát vùng sáng hắt lên bức tường từ một đèn bàn đặt song song với bức tường. Vùng sáng này có hai mảng, mỗi mảng được giới hạn bởi một phần của một đường hyperbol.
Các bước dựng :
- Copy tất cả từ file hypebol.gsp sang một file mới;
- Ta có thể thay đổi hình dạng của hyperbol cho phù hợp bằng cách di chuyển điểm F, tâm O hoặc bán kính (O). Dấu tất cả các đối tượng trừ hyperbol và hai tiêu điểm O, F;
- Sử dụng file ellip.gsp và công cụ xây dựng đoạn thẳng để vẽ chiếc đèn như hình vẽ;
- Tô màu các đường cong bằng cách xây dựng các đa giác nhỏ để tô. Sau đó dấu đi các điểm tạo thành đa giác. Ví dụ:
- Đổi màu nền thành xám (đen). Như vậy bạn đã có hình ảnh chiếc đèn khi bật sáng;
- Tạo công tắc: vào Edit / Select all, click vào các đối tượng tạo nên chiếc đèn để xóa việc chọn; thực hiện lệnh Edit / Action Buttons / Hide/Show / Label gừ từ 'cụng tắc' / OK.
Sau đây là hình ảnh cuối cùng mà bạn sẽ có được:
8.5. Thiết kế mô hình Parabol
Học sinh đã được học ở vật lý 10: một vật được ném lên theo phương xiên góc u, với vận tốc ban đầu v0 thì phương trình quỹ đạo của vật là một parabol .
Sau đây chúng ta sẽ thiết kế mô hình này.
- Vào Graph / Define Coordinate System để xây dựng hệ trục tọa độ Oxy.
- Tạo thanh trượt vận tốc v0: + Dựng tia Ax;
+ Chọn gốc tọa độ O và điểm đơn vị I (theo thứ tự), thực hiện lệnh Transform / Mark Vector để đánh dấu vector đơn vị;
+ Đánh dấu điểm A, vào Transform / Translate ta được điểm B là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vector trên;
+ Lấy điểm M trên tia Ax (Construct / Point on Ray);
+ Chọn 3 điểm A, B, M theo thứ tự, thực hiện Measure / Ratio ta sẽ có tỉ số AM/AB;
+ Dùng công cụ đổi tên đổi AM/AB thành v0; dựng đoạn thẳng AM; dấu tia Ax, hai điểm A,B. Khi đó ta được một thanh trượt điều khiển tham số vận tốc v0.
- Tạo góc ném u
+ Double-click gốc O để đánh dấu tâm quay, quay điểm I quanh O một góc 900