Định lý về thác triển phiếm hàm tuyến tính và hệ quả.

Trớc hết, ta nên ra khái niệm phiếm hàm lồi bởi định nghĩa sau.

Định nghĩa 1: ánh xạ P từ không gian tuyến tính L vào R+ đợc gọi là phiếm hàm lồi, nếu: 1. P(x+y) ≤ P(x) + P(y) (∀x,y ∈ L)

2. P(α x) ≤α P(x) (∀x ∈ L, α ∈ R (hoặc C)

Định nghĩa 2: Ta nói phiếm hàm tuyến tính f trên L quy thuận theo phiếm hàm lồi P (cũng trên L) nếu với mọi x ∈ L đều có f(x)≤ P(x).

Định lý 4: Cho P là phiếm hàm lồi trên L và f0 là phiếm hàm tuyến tính trên không gian con L0 của L. Giả sử trên L0 thì f0 quy thuận theo P. Khi đó, tồn tại phiêm hàm tuyến tính f trên L sao cho:

1. f(x) = f0(x) với mọi x ∈ L0)

2. f quy thuận theo P trên toàn bộ L.

(Phiếm hàm f thoả mãn điều kiện 1, gọi là thác triển của f0 lên L và có thể vẫn ký hiệu là fo) Ta công nhận định lý này.. Phần chứng minh có thể tìm trong hầu hết các giáo trình về giải tích hàm (hay giải tích hiện đại).

Bây giờ ta áp dụng định lý cho trờng hợp L là không gian định chuẩn. Xét trờng hợp f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian con L0. Khi đó f có một chuẩn trên L0 là qfq và có ta có f(x)≤ f0 . x với mọi x ∈ L0. Theo định lý trên thì f có thể thác triển lên toàn bộ L sao cho:

qf(x)q ≤ qf0q . qxq (5)

Với mọi x ∈ L. Nhng khi đó, trên B(0,1) trong L, f vẫn bị chặn và chuẩn của f trên cả L vẫn là qf q = qfq 0 vẫn là qf q = qfq 0 . Nói cách khác, ta có thể thác triển f sao cho nó là PHTTLT trên toàn bộ L, đồng thời giữ nguyên chuẩn nh cũ:

Hệ quả. Nếu L là không gian định chuẩn thì L* có đủ nhiều phần tử, nghĩa là: với mọi x1, x2

∈ L (x1≠ x2) đều có f ∈ L* sao cho f(x1) ≠ f(x2).

Chứng minh: Chỉ cần chứng tỏ nếu x0≠ 0 thì tồn tại f ∈ L* sao cho f(x0) ≠ 0. Thật vậy, trên L0 = {α x0 α ∈ R} (hoặc L0 = {α x0α ∈ Cჰ) lấy f(α x0) = α . Khi đó f PHTTLT trên L0 thác triển f lên toàn bộ L sao cho f giữ nguyên chuẩn. Khi đó f ∈ L* lại có f(x0) = 1 ≠ 0 nên hệ quả đã đợc chứng minh.

Bài tập: 1. Tìm chuẩn của PHTT fαx0 α trên L0={αx0α∈R} (khi L là không gian tuyến tính thực).

2. chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều liên tục.

Đ14. Không gian liên hợp của không gian Hilbert

Ta quay lại trờng hợp đặc biệt: Xét các PHTTLT trên không gian Euclide nói chung và không gian Hilbert nói riêng. Một trong những kết quả quan trọng và thú vị sẽ là: không gian liên hợp của không gian Hilbert có thể coi là chính nó.