Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng quan trọng. ở đây ta chỉ xem xét vai ứng dụng đơn giản.
1. tìm nghiệm của phơng trình số.
Xét phơng trình f(x) = 0 (3). Trong đó f(x) xác định trên [a,b] f(a) < 0, f(b) > 0, 0 ≤ k 1 ≤ f’(x) ≤ k 2. xét hàm f(x) = x- c. f(x) trong đó c là số dơng mà ta sẽ chọn sau:
Khi đó phơng trình (3) có thể viết thành f(x) = x (4) Mặt khác f(x) = 1 - c. f’(x) nên:
1- ck 2≤ f’(x) ≤ 1- (5)
chỉ cần chiọn c < c < 1/ k 2 ta sẽ có 1- ck2 > 0 khi đó 0 < f’(x) ≤∝ = 1- ck2 < 1 (6).
Tiếp theo, ta có f(a) = a-c.f(a) > a và f(b) =b-c.f(b) < b ngoài ra từ (6) ta có f(x) đơn điệu tăng nên f là ánh xạ từ [ a, b] và [a, b] lại có f(x) – f(y)= f’(ε) x-y. x-y≤∝x-ytức f là ánh xạ co do đó, phơng trình(4) và do đó(3) có nghiệm duy nhất. Nghiệm này có thẻ xác định gần đúng theo cách sau lấy x1 tuỳ ý [a, b], rồi lấy xn+1 = f(xn). Sau một số bớc ta sẽ đợc 1 số xn khi gần với nghiệm a (vì xn đến a)
2. chứng minh: Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm phơng trình nghiệm phân. Xét phơng trình
Y0 = f(x,y)
Với điều kiện đầu: y(x0) = y0
Trong đó f xác định và liên tục trong một miền mở D chứa (x0, y0) và thoả mản điều kiện: |f(x,y1) – f(x, y2) | ≤ M |y1 – y2| (9)
Ta chứng minh rằng sụ tồn tại δ > 0 sao cho phơng trình (z) có nghiệm duy nhất y = y(x) xác định trên [ x0 - δ, x0+ δ] và thoả mản điều kiện (δ)
Trớc hết ta nhận thấy rằng (z) với điều kiện đầu (8) tơng đơng với phơng trình: Y(x) = y0 + ⌡x0z,y(z)) dt (10)
Do liên tục nên tồn tại k sao cho |f(x,y) ≤ k trong một miền D chứa (x0, y0) và nằm trong hoạt động lọt trong D. Chọn δ sao cho
a. hình chữ nhật {(x,y) | x – x0| ≤δ, |y- y0} ≤| k δ} nằm lọt trong D’
b.∝= Md < 1
Xét khỏng không gian X các hàm liên tục ϕ trên [ x0 -δ , x0 + δ] và thảo mản điều kiện | ϕ(x)- y(0)} ≤| k δ} trên X xét hàm khoảng cách δ nh sau:
ε( ϕ,Ψ= max[x0 – 0, x0 +0]|ϕ(x) - Ψ(x)
Khi đó dễ dang thấy X là không gian Metric đầy đủ.
Xét ánh xạ f biến mỗi hàm nh ϕ∈Ψ thành hàm Ψxác định nh sau: Ψ(x) = y0 + ⌡x0x f(t, ϕ(t) dt (11)
Ta có: |Ψ(x)- y0| = |⌡x0x f(t, ϕ(t) dt |≤ Kδ Nếu f là ánh xạ từ Χ vào X tiếp theo nếu Ψ1,2 thì
| Ψ(x)- y2(x)| ≤|⌡x0x f(t, ϕ1(t) – f(z) ϕ1(t) | d ≤M δ max[x0-0, x0+0 |Ψ1(x) = Ψ2(x)| Suy ra: f là ánh xạ co. Từ đó suy ra (10) có nghiệm duy nhất (đpcm)
Baì tập: Chứng minh rằng nếu X là không gian Metric đẩy đủ f X →X thảo mản điều kiện tồn tại cảu fn là ánh xạ co, thì f có điểm bất động duy nhất.
Chú ý: ở đây fn là luỹ thức hiểu theo nghĩa sau: Fn (x) = f(f(f(x)) ( n lần tác dụng của f).
Đ 11. Không gian Metric
Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết của ánh xạ, nhận giá trị hằng số và bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Liên quan đến loại bài toán này là câu hỏi: Trên loại không gian nào thì các ánh xạ liên tục luôn nhận giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất? Câu hỏi này gần với loại câu hỏi vè sự tồn tại cảu giới hạn của dãy. trong không gian thì mọi dãy đều chứa dãy con hội tụ? Những câu hỏi nh vậy dẫn đến khái niệm vè không gian nén. Trớc hết ta nêu ra một số khái niệm gần với khái niệm về không gian( hay tập hợp) hoàn toàn khác bị chặn.