Định nghĩa 2: ánh xạ f từ giữa hai không gian, Metric đợc gọi là đồng phôi, đồng cực. 1. F là song ánh:
2. F và f-1 đều liên tục
Định nghĩa 3: Toàn ánh f từ ( X, d) vào ( X’, d’) đựợc gọi là đẳng cực, nếu với mọi x, y đều có d(x,y) = d’( f(x), f(y)).
Định lý 3: Mọi đẳng cực đều là đồng phôi
Chứng minh: Nếu f là đẳng cực từ (X,d) vào (X’, d’) thì khi x, y ∈ X và x ≠ y ta có d’( f(x), f(y)) = d(x,y) ≠ 0 nên f(x) ≠ f(y). Từ đó suy ra f là song ánh việc f và f’ đều liên tục là hiển nhiên.
Ví dụ : Coi R là không gin Metric với khoảng cách thông thờng và xét ánh xạ f: R →γ = − 2 , 2 r r
x → arctgx. Hiển nhiên f là song ánh. Trên γ cũng xét khoảng cách thông thờng. Lấy trên mở trong γ ta chứng tỏ f-1(β) mở trong R.
Thật vậy: Giả sử a ∈ f-1(β). Khi đó, f(a) ∈ B. Vì B mở nên tồn tại 0 < ع sao cho
β( f(a), ع) ⊂ B hay ( f(a) –ع) ⊂ B hay ( arctya -ع; f(a) + ع) ⊂ β. điều nay có nghĩa là nếu arcya - ε < y < arcya +ع
Thì y ∈ B. Đặt a1 = tg(arctya - ع , a2 = tg(artyb +ع)
Khi đó bất đẳng thức arctya ε < y < ε tơng đơng với a1 < tgy < a2 , đồng thời a1 < tg(arctga) ≡ a < a2.
Đặt δ = min( a- a1, a2 – a), ta có (a - δ, a + δ) ⊂ ( a1, a2). Vì vậy nếu
x ∈ (a - δ, a + δ) thì a1 < x < a2 nếu arctya - ε < arctyx < arctya + ε, Tức là arctyx ∈ B hay.Nh vậy ta có x ∈ ( ∝ - δ, ∝ + δ) ≡β(a, δ) ⊂ f -1(B), do đó f-1(β) mở. Từ đó suy ra f liên tục. Việc chứng minh f-1 liên tục cũng thực hiện tơng tự nh vậy f là đồng phôi.
Tuy nhiên f không phải đẳng cực, vì chẳng hạn, d( f(1) , f(0)) = |arctg 1 – arctg 0 | = (1,0) 1
4r ≠d =
Để f là đẳng cực, có thể làm nh sau: Trên γ ta không dùng khoảng cách thông thờng nữa mà xét hàm khoảng cách mới là δ nh sau:
δ ( y, y’) = |tg y – tg y’|
Khi đó( f(x), f(x’)) = |tg f(x) - tg f(x’)| = |x - x’| = d(x, x’) Rõ ràng khi đó f là đẳng cực/
Đ9: Tính đầy đủ của không gian metric
Trong lý thuyết số và giải tính toán học, ta đã đụng chạm đến vấn đề về tính đây đủ : đó là sự đảm bảo cho dãy cơ bản đều có giới hạn. ở đây tổng quát hơn, ta cũng đã nói tới vấn đề này khi nghiên cứu không gian Euclede. Á đây, ta sẽ giải quyến vấn đề nay thông qua tổng quát nhất. Cho các không gian metric tuỳ ý.
1. Khái niệm về tính đầy đủ: Dãy điểm { xn } trong không gian metric X đựơc gọi là cơbản, nếu với một số ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên n sao cho khi m, n ≥ N thì ol ( xm, xn) < ε bản, nếu với một số ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên n sao cho khi m, n ≥ N thì ol ( xm, xn) < ε (1)
Nói cách khác, ta có lim m, n →∞ d(xm, xn) = 0
Định nghĩa không gian Metric X( nói hàm khoảng cách d) đơcj gọi là đầy đủ, nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ.
Ngoài ra các ví dụ về không gian Enclide đày đủ (không gian Hillbot). Ta có thể dẫn ra vô số ví dụ về không gian metric đầy đủ bằng bổ đề sau:
Bổ đề: Mọi tập hợp con đóng(≠φ) của không gian metric đầy đủ cũng là không gian metric đầy đủ.
Phần chứng minh dành cho ban đọc.