Định nghĩa: 1: Tập hợp A( trong không gian Metric ( X, d) đợc gọi là đóng nếu [A ]. Tập hợp B đợc gọi là mở, nếu Int(B) =B. Nói cách khác, b mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Từ định nghĩa suy ra rằng các tập hợp φ và X vừa đóng vừa mở.
Định lý 1: Tập hợp A ≠ φ là đóng khi và chỉ khi giới hạn của mọi dãy điểm thuộc A đều là phần tử cảu A.
Chứng minh: Giả sử A đóng lấy x1, x2, ……∈ A và giả sử xn → a ta phải chứng minh a. Theo định nghĩa ở bài 6 thì a ∈ [ A]. Nhng vì [ A ] = A nên a ∈ A .
Đảo lại: Giả sử giới hạn của mọi dãy điểm thuộc A đều là phần tử của A. Cũng theo định lý đẫn thì điều này có nghĩa là mọi điểm của [ A ] đều thuộc A, nên [ A ] = A, tức là A đóng. Định lý sẽ đợc chứng minh.
Định lý 2: tập hợp A ≠ φ là mở khi và chỉ khi A biểu diễn đợc dới dạng hợp của các hình cầu mở.
Chứng minh: giả sử A = ∪ B
Ta phải chứng minh rằng A mở lấy x tuỳ ý thuộc A. Khi đó tồn tại α∈I
Sao cho x ∈ B(aα0,rα0) Nhng nếu nh thế thì với ع = rα0−d(x,aα0)
Ta có: β ( x, ع) ⊂β(aα0,rα0) ⊂ A. Do x lấy tuỳ ý nên A mở.
Đảo lai: giả sử A mở? Với mọi X bấtt kỳ thuộc A. Ta sẽ có một số đờng rx sao cho β(x1, x2) ⊂ A. Hiển nhiên A = ∪x∈aB(x, rx) tức là A có dạng các hình cầu đã mở
Bài tập: chứng minh răng nếu tập hợp A khác φ thì A có thể biểu diễn dới dạng hợp các hình cầu đóng.
Mệnh đề đảo nh trên có đúng không?
Định lý 3 : A là tập hợp đóng khi và chỉ khi Ac X \ A là mở.
Chứng minh: Giả sử A đóng, khi đó [ A ] = A nên [ A]c hay Ext ( A) = Ac .
Vì Ext( A) = Int( Ac) nên Int( Ac ) = Ac. Do đó Ac mở. Suy luận ngợc lại cũng hiển nhiên nh vậy
Định lý 4: Với mọi A ⊂ X thì:
a. Int( A) là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A b. [ A ] là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A
Chứng minh: a. Trớc hết ta chứng minh cho Int( A) là tập hợp mở.
Nói cách khác cần chứng tỏ rằng với mọi A thì đều có Int( A)) = Int ( A). Điều này thực ra không hoàn toàn hiển nhiên nh ta cảm thấy lúc đầu. Vì đơng nhiên ( Int( A)) ⊂ Int( A) nên khi cần chứng tỏ Int( A) ⊂ Int( A). Lấy a ∈ Int( A). Khi đó tồn tại r > 0 sao cho β( a, r) ⊂ A.
( Lấy b ∈β( a, r). Khi đó, với ϑ = r - d( b, a) thì ϑ > 0 và β( b, ϑ). ⊂ B ( a,r), nên điều này có nghĩa là β( a, r) ⊂ Int( A). Nói cách khác, a ∈Int( Int( A)). Nh vậy, Int( A) luôn mở.
Bây giờ lấy B mở sao cho B ⊂ A ta còn phải chứng tỏ B ⊂ Int( A).
Thật vậy: Từ B ⊂ A suy ra Int( B) ⊂ Int(A). Nhng vì Int(B) = B nên b ⊂ Int(A). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
B. Theo chứng minh trên thì ta cũng có: Int(Ac) mở, vì vậy [A] = (Int(Ac))c đóng.
Tiếp theo, Int(Ac) ⊂ Ac nên [A] ⊃ A. Cuối cùng, nếu C đóng và C chứa A thì Cc mở và Cc
⊂ Ac nên Cc ⊂ Int (Ac ). Từ đây suy ra C ⊃ [A]. Và ta nhận đợc khẳng định thứ 2 của định lý.