Ký hiệu F và J lần lợt là hệ mọi tập hợp đóng và hên mọi tập hợp mở trong (X, d). Khi đó φ, X ∈ f, và φ, X ∈ J. Ngoài ra, ta còn có định lý sau:
Định lý 5: 1. Nếu A1 …, An ∈ f Thì Un
k=1 Ak ∈ F
2.Nếu với mỗi α∈ I ( I là tập hợp tuỳ ý) ta có Aα∈ F thì Aα∈ J 3. Nếu A1 …., An ∈ J thì ∩n
k=1 Ak∈ J
4. Nếu với mỗi α ∈ J ta có A ∈ J thì Uα∈ I Aα∈ J. Chứng minh: 1. cho A1,….. An ∈ f ta có: [Un k=1 Ak ] = Un k=1 [ Ak ] = Un k=1 Ak Nên Un k=1 Ak∈ F.
2. Giả sử với mỗi α ∈ I đều có Aα ∈ F nếu ∩α∈I Aα = φ Thì kết luận là hiển nhiên giả sử ∩α∈I Aα = φ . lấy a ∈ [∩α∈I Aα], ta phải chứng minh rằng a ∈ ∩α∈I Aα. Vì a ∈ [∩α∈I Aα] nên tồn tai dãy { xn } trong ∩α∈I Aα sao cho xn →a. Do mỗi xn đều thuộc mọi Aα nên a ∈ [ Aα ] = Aα nên a ∈ Aα(∀α), suy ra a ∈∩α∈I Aα, từ đó suy ra Điều phải chứng minh.
3. Cho A1,…… An∈ I. Khi đó Anc,…… Ank∈ J nên ∪k=1Akc ∈ F. Suy ra (∪n
k=1Akc)c∈ J hay ∩n
k=1 Ak ∈ J.
3. Nếu mỗi Aα đều thuộc J (α∈I) thì Aαc ∈ F nên . ∩α∈I Ac
α∈ F nên UαAα = (∩αAc
α)c∈ J. Định lý đã đợc chứng minh:
Bài tập 1: 1, Chứng minh trực tiếp các mệnh đề 3 và 4 của định lý, rồi dùng chúng để chứng minh 1, và 2,
2, Lấy ví dụ chứng tỏ rằng hợp vô hạn các tập hợp đóng có thể không đúng, và tơng tự, giao vô hạn các tập mỏ có thể không mở.
3. Các tập hợp đóng và mở trên trục số:
Trong phần này ta sẽ chứng minh răng mỗi tập hợp mở khác φ trên r, đều là hợp hữu hạn hoặc hợp đếm đợc cảu các khoản mở( hữu hạn hoặc vô hạn), néu xét khoảng cách thông thờng : d(x1, y)= x- y
Thật vậy: lấy một tập hợp mở khác rỗng tuỳ ý, la A. Trong A ta xét quan hệ nh sau: Với x1 , y ∈ A thì x và y khi và chỉ khi tồn tại một khoảng ( a, b) sao cho:
X, y ∈( a, b) ⊂ A.
Dễ thấy có tính phản xạ , ví nếu x ∈ A thì tồn tại r > 0 sao cho
β = (x – r ; x + r) ⊂ A., tức là x ∈ (a, b) ⊂ A, với a = x – r , b = x + r sao cho x và x tiếp theo, hiển nhiên ta có tính chất đối xứng. Bây giờ giả sử x và y , y và Z. khi đó tồn tại khoảng ( a, b) sao cho x, y ∈ (a,b) ⊂ A và (c, d) sao cho y, z ∈ (c, d) ⊂ A. Vì ( a, b) và (c, d) có điểm chung nên tập hợp của chúng là (p,q) với p = min( a, c) và q = max( b, d). Rõ ràng x, z ∈( p, q) ⊂ A nên x ϕ z. Vậy ϕ có tính chất bắc cầu. Do đó ϕ là quan hệ tơng đơng.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ϕ ( trong A) là một khoảng. Ký hiệu I là một lớp tơng đơng. Đặt a inf I và b = sup I( a có thể là - ∞ và b có thể là +∞). Khi đó I ⊂ ( a, b). Bây giờ ta lấy x tuỳ ý trong( a, b). Do xác định a và b nên tồn tại y, z ∈ I sao cho: a < y < x < z < b
Vì y, z thuôc cùng một lớp tơng đơng I nên tồn tại ( c, d) sao cho: y, z ∈ (c, d) ⊂ I
Rõ ràng x ∈ (c, d). Suy ra x ∈ I. Nh vậy, mọi điểm của (a, b) đều thuộc I. Do đó I = (a, b)
Vì các lớp tơng đơng khác nhau không có điểm chung nên suy ra A là hợp các khoảng không gian giao nhau( đpcm).
Từ đó cũng suy ra rằng tập đống trên R là phần còn lại của R sau khi bỏ đi một số hữu hạn hoặc đếm đợc các khoảng không giao nhau.
Bài tập : 1. trên R2 xét hai hàm khoảng cách sau: Với x = (x1 , x2) , y = (y1, y2) thì:
d(x,y)= ( ( )2 2 2 2 1 1 x ) y x y − + − d1(x, y) = max( y1−x1, y2−x2)
Chứng minh rằng tập A ⊂ R2 là mở khi và chỉ khi A mở theo Metric d1 . 2 Chứng minh rằng trong không gian metric mọi tập hợp hữu hạn đều đóng. Có thể nói: Mọi tập hợp hữu hạn đều không mở, đợc không?
3 Cho a và A là điểm d( a, A) = infy ∈A d( a, y) gọi là khoảng cách từ a tới A. Chứng minh rằng nếu A đóng và a ∉ A thì d( a, A) > 0.
4. Cho A , B là tập hợp cm( ≠ϕ) của không gian con của X. a. Chứng minh rằng
1. Mở trong B khi và chỉ khi tồn tại B’ mở trong X sao cho B = A ∩ B’; 2. Nếu B mở trong X thì b mở trong A
3. Tìm điều kiện đối với A để mệnh đề đảo của (2) luôn đúng.
Đ8. ánh Xạ Liên tục đồng phôi và ẩn cực
Cũng nh trong giải tích cổ điển, một trong những vấn đề liên quan quan trọng nhất của giải tích hiện đại là nghiên cứu tính liên tục của ánh phản xạ. Một vấn đề quan trọng khác có liên quan với ánh xạ liên tục là vấn đề về tính đẳng cực của các không gian Metric, Tức là điều kiện để 2 không gian metric có thể coi nh một. ở đây ta sẽ phát biểu chính xác và nghiên cứu các vấn đề nói trên.
1. ánh xạ liên tục:
Định nghĩa 1: Cho f là anh phán xạ từ không gian Metric (X, d) vào không gian metric ( X’, d’). Ta nói f liên tục tậi điểm a, nếu với mọi 0 < ع đều tồn tại δ > 0 sao cho f( β( a, δ)) ⊂ β( f (a); δ).
Nói cách khác: Với mọi 0 < ع đều tồn tại 0 < ع sao cho khi d( x1, a) <δ thì d’(f(x), f(a)) < δ
Nếu a liên tục tại một thời điểm của X thì ta nói đơn giản rằng f là ánh xạ liên tục.
Định lý sau dây thiết lập mối liên hệ giữa tính liên tục của ánh xạ và giới hạn của dãy.
Định lý 1: ánh xạ f: X →Y liên tục tại A khi và chỉ khi với mọi dãy {xn} hội tụ tới a đều có f(xn) → f(a)
Chứng minh: Giả sử f liên tục tại a và Xn → a, ta phải chứng minh f(xn) → f(a). Lấy ε > 0 khi đó tồn tại δ > 0 sao cho khi d(x,a) < δ thì d(f(x), f(a)) < ε. Vì xn → a nên tồn tại nδsao cho khi n ≥ nδ thì d(xn,a) < δ. Nhng khi đó d(f(xn), f(a) < ε. Vậy f(xn ) → f(a).
Bây giờ ta giả sử f không liên tục tại a. Khi đó, tồn tại δ 0 > 0 đều có xδ nhng d( f (xδ), f(a)) ≥δ 0 . Lấy một dãy δn = n1 ( n = 1, 2..) và một dãy δ n = xδ n . Khi đó d( x’n, a) < n1 → 0 Tức là x’n → a, nhng d(f(x’n), f(a) ≥ δ0 nên f(x’n) → f(a). Điều đó có nghĩa là từ việc xn → a luôn suy ra f(xn) → f(xa) thì liên tục tại a ( đpcm)
Định lý 2: ánh xạ f là liên tục khi và chỉ khi tạo ảnh qua f của mội tập đóng đề là tập đóng. Chứng minh: Cho f là ánh xạ liên tục từ ( X, d) vào ( X’, d’). Giả sử f liên tục lấy A’ là tập đóng trong X’. Ta phải chứng tỏ rằng f-1( A’) đóng trong X. Giả sử a = lim xn với xn ∈ f-1( A’). Khi đó f(xn) ∈ A’ tức là a ∈ f-1 ( A’). Do đó f-1 (A’) đóng.
Đảo lại: giả sử với mọi A’ đóng đều có f-1 (A’) đóng. Lấy a ∈ X. ta phải chứng minh rằng f liên tục tại a.
Cụ thể với mỗi 0 < ع ta phải chứng tỏ rằng tồin tại 0 < ع sao cho f( β( a,δ)) ⊂β( f(a),ع). Do β(f( a,δ) mở nên X’\ β(f( a,δ)) đóng. Từ giả thiết suy ra f -1 (β(f( a,δ)) đóng. Do đó f -1 (β(f( a,δ)) là mở. Mặt khác, vì f(a) ∈ (β(f( a),δ) nên a ∈ f -1 (β(f( a,δ)). Do tỉnh mở của f -1 (β(f( a,δ)) nên tồi tại δ sao cho β( a,δ) ⊂ f -1 (β(f( a,δ)), tức là f( β( a,δ)) ⊂ β(f( a,δ). ( đpcm)
Định lý 2 : ánh xạ f là liên tục khi và chỉ khi tạo ảnh qua f của mọi tập hợp mở đều là tập hợp mở.
Chứng minh: Giả sử f liên tục và A’ mở. Ta phải chứng minh răngf-1(A’) mở. Vì A’ mở nên X’ \ A đóng. Suy ra f-1 ( X’\ A’) đóng hay X \ F-1(A’) đóng, tức là f-1 (A’) mở.
Giả sử tạo ảnh của mọi tập mở đều mở. Khi đó để suy ra rằng tạo ảnh của mọi tập hợp đều đúng. Do đó f liên tục.
Bài tập: Chứng minh truẹc tiếp định lý 2’ (không đựơc dựa vào định lý 2) 2.ánh xạ liên tục trong các không gian đặc biệt:
a. ánh xạ từ A ⊂ R vào R về cơ bản khái niệm về tính liên tục của các hàm số một tập hợp A ⊂ R trùng với khai niệm đã định nghĩa trong giải tích cổ điển. Cụ thể, nếu a là điểm trong cua A thì tính liên tục của hàm F tai a theo định nghĩa 1 hoàn toàn trùng với tính liên tục theo định nghĩa cổ điển.
b. ánh xạ từ không gian metric rời rạc ( x,d) vào một không gian metric ( X’, d) tuỳ ý. Nói chung, không gian metric X đựoc gọi là rời rạc, nếu d(x,y)
α > 0 với moị x, y ∈ X sao cho x ≠ y. Trong không gian nh vậy, mọi tập hợp đều mở ( và vì thế đều đóng), do đó mọi ánh xạ từ X vào một không gian Metric bất kỳ đều liên tục.