Không gian nén:

Định nghĩa 2: Không gian metric X đợc gọi là nén, nếu nó hoàn toàn bị cặn (Trong chính nó) và đầy đủ tính nén còn gọi là tính “Com-pắc”, xuất phát từ tục ngữ La Tin “Compact” nghĩa là bó chặt, nén.

Sau đây ta sẽ chứng minh và định lý về tính chất của không gian nén.

Định lý 1: Không gian metric X là nén khi và chỉ khi mọi dẫy điểm trong X đều chịu một dẫy con hội tụ.

Chứng minh a: Giả sử X là nén và { }xn là một dẫy trong X. vì X có thể biểu diễn dới dạng hợp của một số hữu hạn các hình cầu đóng bán kính bằng 1, nên trong các hình cầu B(a1, 1) chứa vô số các phân tử của dẫy{ }xn . Chính hình cầu này củng là không gian hoàn toàn bị chặn

(và nén). Do đó B (a1,1) lại có dạng một hợp hữu hạn của các hình cầu đóng bán kính 2 1

trong

B(a1, 1), và trong vô số hình cầu đó lại có ít nhất một hình cầu B       2 1 ; 2

a chứa vô số phân tử của dãy [xn] . Ta có: B(a1, 1) ⊃ B       2 1 ; 2

a ; và cứ thế, ta đợc một dẫy hình cầu đóng lồng nhau và có “ đ-

ờng kính” nhỏ dần. (chú ý rằng hình cầu trong B       2 1 ; 2 a chẳng hạn, có thể không phải là hình cầu trong B(a2, 1/2); và cứ nh thế, ta đựoc một dãy hình cầu lông nhau, và có đờng kính nhỏ dần( chú ý) hình cầu trong B(a2, 1/2 ) chẳng hạn, có thể không phải là hình cầu trong B(a1, 1) dãy tập đóng này phải có một điểm (duy nhất) là a. Bây giờ , trong mỗi B(ak, )

21 1 1 − k . Ta có: chọn một điểm xnk ta có: d( ) ( ) ( ) 2 2 1 , , , ≤ nk k + k ≤ k− nk a x a d a a x

Do đó xnk → a, tức là dãy { xn} con dãy con hội tụ

Đảo lại: Ta có hệ thức nh sau: Giả sử mọi dãy trong X đều có con hội tụ, ta phải chứng minh dãy X là không gian nén. Trớc hết, nếu {xn} là cơ bản thì do đó ta có một dãy con hội tụ tới a ∈ X, chính dãy {xn} là cơ bản thì do đó hội tụ có một dãy con hội tụ tơí a ∈ X, chính dãy { xn} cũng phải hội tụ tới a. Nh vậy X đầy đủ.

Ta còn phải chứng tỏ X hoàn toàn là bị chặn. Giả sử tồn tại một ε0.

Sao cho X không có một lới - ε0. hữu hạn nào. Lấy a1 tuỳ ý thuôc X . vì vậy {a1} không thể là lới - ε0. nên tồn tại a2 sao cho d(a2, a1) > -ε0. Vì {a1, a2} cũng không thể là lới - ε0. nên tồn tại a3 sao cho d(a3, ak) > ε0 với k =1,2…… C nh thế ta sẽ thực hiện một cách dòng{ xn}. Rõ ràng dãy này không thể chứa một dãy con nào hộ tụ, trái với giả thiết. Vạy X hoàn toàn bị chặn, và do đó là nén (đpcm).

Sau này, ở phần Topologia đại cũng, ta sẽ còn quay lại với những vấn đề tìm kiếm và đầy đủ những điều kiện cần và đủ của tính nén. Bây giờ ta sẽ chứng minh.

Định lý 2: ảnh liên tục của không gian nén là không gian nén.

Chứng minh: Cho T là ánh xạ liên tục tù X vào Y trong đó X là nén ta phải chứng minh f(X) là nén. Lấy môt dãy {yn} trong f(X). Khi đó với mỗi yn thì tồn tại xn sao cho f(xn) = yn dãy

{xn} phải chứa một dãy con {xnk} hội tụ, ví dụ tới a. Do tính liên tục nên Ynk = f(xnk)  f(a). Suy ra f(X) là nén.

Hệ quả: ánh xạ liên tục từ không gian nén vào R là bị chặn và đạt các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Để phát triên định lý tiếp theo, ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 3: ánh xạ f : X  Y đợc gọi là liên tục đều, nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > sao cho khi d(x, x’) < δ thì d (f(x), f(x’)) < ε.

Định lý 3: ánh xạ liên tục f từ không gian nén X vào không gian metric Y tuỳ ý luôn là liên tục đều.

Chứng minh: giả sử f không liên tục đều, khi đó sẽ có ε0 > 0 sao cho với mọi δ > 0 đều tồn tại xδ và x’δ sao cho d(xδ, x’δ) < δ nhng d(f xδ), f(x’δ)) ≥ε0. Nh vậy, với mỗi n nguyên dơng đều có xn và x’n sao cho ( , ' ) 1 (1) n x x d n n < Đồng thời: d(f(x), f(xn'))≥ε0 (1)

Từ dãy {xn} có thể chọn một dãy con xnkhội tụ tới a ∈ X khi đó dãy x'nk

Cũng hội tụ tới a. Mặt khác lại có: d(f(a), f(a)) = himd(f(xnk), f(xnk) ≥ε0 điều này vô lý; từ đó suy ra (đpcm)

Nhận xét: Hiển nhiên từ tính liên tục đều luôn suy ra tính liên tục.

Chơng III