1. Định nghĩa:
Để đạt được một biến đổi Fourier cục bộ, chúng ta cĩ thể định nghĩa một biến đổi Fourier cửa sổ. Tín hiệu đầu vào được nhân với một hàm cửa sổ ω(t - τ) và sau đĩ lấy biến đổi Fourier của nĩ. Kết quả là một biến đổi hai chỉ số STFTf(ω,τ) được cho bởi: ( ) ∞∫ ( ) ( ) ∞ − − ∗ − = t f t e dt STFT j t f ω,τ ω τ ω (3.58)
Khi đĩ ta thể biểu diễn dưới dạng tích trong:
( ) g ( ) ( )t f t STFTf ω,τ = ω,τ
Với gω,τ( )t =ω(t−τ)ejωt
Mỗi hàm thành phần trong khai triển cĩ cùng độ phân giải thời gian và tần số, một cách đơn giản là một sự định vị khác nhau ở miền thời gian – tần số.
2. Tính chất:
Các hàm dùng trong khai triển STFT cĩ được bằng cách dịch và điều chế hàm cửa sổ ω(t):
( ) ωω( τ)
τ
ω t =e t−
g j t
, (3.59)
Cho ω( )t =1 và giả sử nĩ là khả tích tuyệt đối.
f(t) cĩ thể được khơi phục lại trong L2(R) bằng tích phân kép
( ) ∞∫ ∫ ( ) ( ) ∞ − ∞ ∞ − = π STFT ωτ gωτ t dωdτ t f f , , 2 1 (3.60) STFT cũng cĩ tính chất bảo tồn năng lượng theo định đề sau:
Định đề: cho f(t) ∈ L2(R) và biến đổi Fourier thời gian ngắn của nĩ là STFTf(ω,τ) thì: ( ) ∫ ∫∞ ( ) ∞ − ∞ ∞ − = ωτ ωτ π STFT d d t f 2 f , 2 2 1
CHƯƠNG IV:
CÁC ỨNG DỤNG CỦA WAVELET I. ỨNG DỤNG WAVELET CHO XỬ LÍ TÍN HIỆU: I. ỨNG DỤNG WAVELET CHO XỬ LÍ TÍN HIỆU:
Để xử lí tín hiệu trong miền tần số, ta lấy biến đổi Fourier (hoặc chuỗi Fourier hoặc DFT) của tín hiệu, nhân một số hệ số Fourier với 0, sau đĩ lấy biến đổi Fourier ngược. Điều này cĩ thể loại bỏ một số thành phần của tín hiệu, trong khi các thành phần khác khơng đổi. Vấn đề cũng được xử lí tương tự như đối với biến đổi trong miền Wavelet.
Sơ đồ khối cho việc xử lí tín hiệu trong miền biến đổi Wavelet được cho trong hình 4.1:
Hình 4.1 – Bộ xử lí tín hiệu bằng phép biến đổi.
Quá trình xử lí tín hiệu dựa trên Wavelet tuyến tính cĩ sơ đồ khối như hình 4.1, nĩ thực hiện nhân DWT với một số hằng số (cĩ thể là 0). Nếu các tín hiệu khơng mong muốn hoặc nhiễu cĩ thể được cách ly với tín hiệu mong muốn trong miền biến đổi Wavelet, thì chúng cĩ thể bị loại bỏ bằng cách nhân với các zero, sau quá trình này ta lấy biến đổi DWT ngược để được tín hiệu ban đầu.