1. Khơng gian tín hiệu:
Một khơng gian hàm là một khơng gian vector tuyến tính (hữu hướng hoặc vơ hướng) mà các vector là các hàm, các vơ hướng là các số thực (đơi lúc là số phức), phép nhân vơ hướng và phép cộng vector thì tương tự như trong (1.1). Tích trong của hai vector f(t) và g(t) là một vơ hướng, nĩ được định nghĩa:
a = f(t),g(t) =∫f*(t).g(t)dt
(1.5)
Với phạm vi của tích phân phụ thuộc vào lớp tín hiệu đang khảo sát. Tích trong này định nghĩa một chuẩn hoặc chiều dài của vector và được định nghĩa như sau:
f f
f = , (1.6)
Nĩ là khái quát đơn giản về tính chất hình học được định nghĩa trong khơng gian Euclice ba chiều. Hai tín hiệu (hoặc vector) khơng Zero được gọi là trực giao nếu tích trong của chúng là Zero.
Một khơng gian con đặc biệt quan trọng trong xử lý tín hiệu là L2(R). Đây là khơng gian của tất cả các hàm f(t) với định nghĩa tích phân của bình phương module của hàm. “L” biểu thị cho tích phân Lebesque; “2” biểu thị tích phân bình phương Module của hàm; R cho biết biến t của tích phân là biến thực. Với một hàm g(t) là một phần tử của khơng gian đĩ sẽ được ký hiệu là g ∈ L2(R) hoặc một cách đơn giản:g∈ L2.
Cho một khơng gian vector tín hiệu S, nếu f(t) ∈ S cĩ thể được biểu diễn, ∑ = k k k t a t
f( ) ϕ ( ), thì các hàm ϕk(t) là một tập khai triển của khơng gian S. Nếu biểu
diễn là duy nhất, thì tập hàm ϕk(t) gọi là cơ sở. Ngược lại, một khơng gian vector tín hiệu cĩ thể bắt đầu với tập khai triển hoặc cơ sở và định nghĩa khơng gian S như là một tập của tất cả các hàm mà cĩ thể biểu diễn : =∑
k k
k t
a t
f( ) ϕ ( ). Đây được gọi là tập
sinh của cơ sở.
2. Hàm tỷ lệ:
Để dùng được ý tưởng về đa phân giải, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách định nghĩa hàm tỷ lệ và sau đĩ định nghĩa Wavelet. Tập các hàm tỷ lệ là hàm tỷ lệ cơ sở được dịch đi một số nguyên lần:
ϕk( )t =ϕ(t−k) (1.7)
Khơng gian con của L2(R) được sinh bởi các hàm này được định nghĩa: V0=Span{ϕk( )t } (1.8) Với k ∈ (-∞, +∞), cĩ nghĩa là : ( ) =∑ ( ) k k k t a t f ϕ , một số f(t) ∈ V0.
Từ hàm tỷ lệ cơ sở, chúng ta thay đổi tỷ lệ và dùng phép dịch sẽ cho ra một hàm hai chiều: ( )t j ( jt k) k j =2 2 2 − , ϕ ϕ (1.9)
Tập sinh của nĩ thơng qua k là:
V span{ ( )t} span{ jk( )t } k j k k j = ϕ 2 = ϕ , (1.10)
Với k ∈ Z. Như vậy, với f(t) ∈ Vj , thì nĩ cĩ thể được biểu diễn: ( ) =∑ ( + ) k j k t k a t f ϕ 2 (1.11)
Với j > 0, thì tập sinh cĩ thể là lớn hơn khi ϕj,k(t) là hẹp hơn và được dịch ở các bước nhỏ hơn. Vì vậy cĩ thể biểu diễn chi tiết hơn. Ngược lại, ở j < 0, ϕj,k(t) là rộng hơn và được dịch ở các bước lớn hơn.
•Phân tích đa phân giải:
Chúng ta diễn tả yêu cầu cơ bản của phân tích đa phân giải bằng cách thiết lập hàng loạt các khơng gian con:
… ∈ V-2∈ V-1∈ V0∈ V1∈ V2 … ∈ L2 (1.12) hoặc Vj∈ Vj+1, với j ∈ Z (1.13)
và V-∞ ={0}, V∞ = L2 (1.14)
Khơng gian chứa các tín hiệu cĩ độ phân giải cao sẽ chứa các tín hiệu cĩ độ phân giải thấp. Bởi vì việc định nghĩa của Vj các khơng gian này thoả mãn điều kiện tỷ lệ:
Điều này bảo đảm các thành phần trong một khơng gian này là một phiên bản tỷ lệ của các thành phần trong một khơng gian kế tiếp. Mối quan hệ này của khơng gian con được minh họa trong hình 1.1:
Một tập sinh của ϕ(2jt –k) được ký hiệu là Vj như trong (1.12) và (1.15), minh họa trong hình 1.1 thì ϕ(t) ∈ Vj, cĩ nghĩa là ϕ(t) ∈V0 và ϕ(t) ∈ V1, khơng gian này được sinh bởi hàm ϕ(2t). Như vậy ϕ(t) cĩ thể được biểu diễn qua hàm ϕ(2t):
( ) =∑ ( ) ( − ) n n t n h t 2ϕ2 , ϕ n ∈ Z (1.16)
Hình 1.1 – Tập các khơng gian vector được sinh bởi hàm tỷ lệ.
h(n) là chuỗi số hàm tỷ lệ cĩ giá trị thực hoặc phức, 2 tồn tại chuẩn của hàm tỷ lệ.
Phương trình đệ qui này là cơ bản của lý thuyết hàm tỷ lệ và trong một số trường hợp, nĩ tương tự như phương trình vi phân hệ số h(n) và nghiệm ϕ(t) cĩ thể tồn tại, khơng tồn tại hoặc duy nhất. Tùy theo quan điểm cĩ thể gọi phương trình bằng các tên khác nhau như phương trình chọn lọc, phương trình đa phân giải ( MRA ) hoặc phương trình giản.
3. Hàm Wavelet:
Các đặc tính quan trọng của tín hiệu là cĩ thể mơ tả hoặc số hĩa. Trong đĩ khơng dùng ϕj,k(t) và việc tăng j để tăng kích thước của các khơng gian sinh con bởi hàm tỷ lệ, thay vào đĩ ta định nghĩa một tập khác ψj,k(t). Nĩ được gọi là hàm Wavelet.
Cĩ nhiều thuận lợi để thiết lập các hàm tỷ lệ và Wavelet trực giao. Các hàm cơ bản trực giao cho phép việc tính tốn các hệ số một cách đơn giản và dùng định lý Parseval để chia năng lượng của tín hiệu trong miền biến đổi Wavelet. Bù trực giao của Vj trong Vj+1 được định nghĩa là Wj. Lúc đĩ tất cả các thành phần của Vj thì trực giao với các thành phần của Wj, chúng ta cĩ :
ϕj,k( )t ,ψj,l( )t =∫ϕj,k( )t ,ψj,l( )t dt =0 (1.17) với j,k,l ∈ Z.
Nếu ta bắt đầu tại Vj ( j = 0 ) thì từ (1.12) ta cĩ thể viết lại:
V0⊂ V1⊂ V2⊂ … ⊂ L2 (1.18)
Chúng ta định nghĩa khơng gian con sinh của Wavelet: V1 =V0 ⊕W0 (1.19) Lúc đĩ mở rộng ra ta cĩ : V2 =V1⊕W1 =V0 ⊕W0⊕W1 (1.20) Một cách tổng quát: ⊕ ⊕ ⊕ = 0 0 1 2 V W W L (1.21)
Trong đĩ V0 là khơng gian đầu tiên. Hình 1.2 minh họa tập các khơng gian hàm tỷ lệ Vj với các tỷ lệ j khác nhau và các khơng gian Wavelet rời rạc khác nhau hoặc các bù trực giao.
Tỷ lệ của các khơng gian con đầu tiên được chọn một cách tuỳ, và cĩ thể chọn tại một độ phân giải cao j = 10:
= 10 ⊕ 10 ⊕ 11 ⊕
2 V W W
L (1.22)
hoặc tại một độ phân giải thấp j = -5: = −5 ⊕ −5 ⊕ −4 ⊕
2 V W W
L (1.23)
hoặc thậm chí tại j = -∞, khi đĩ :
L2 =⊕V−2 ⊕W−1⊕W0 ⊕W1⊕W2 ⊕ (1.24)Một cách khác để mơ tả quan hệ của V0 với khơng gian Wavelet: Một cách khác để mơ tả quan hệ của V0 với khơng gian Wavelet: W−∞⊕⊕W−1=V0 (1.25)
Hình 1.2 – Khơng gian hàm tỷ lệ và vector Wavelet.
ν3⊃ν2⊃ν1⊃ν0
w1
w2 w0 ν0
Một lần nữa ta thấy tỷ lệ của khơng gian tỷ lệ cĩ thể chọn một cách tuỳ ý. Trong thực tế, nĩ luơn được chọn để biểu diễn chi tiết thơ nhất của một tín hiệu.
Hàm Wavelet cĩ thể được định nghĩa từ hàm Wavelet ϕ(2t): ( )t h ( )n ( t n)
n
−=∑ 1 . 2ϕ 2 =∑ 1 . 2ϕ 2
ψ , n ∈ Z (1.26)
Với h1(n) là hệ số Wavelet. h1(n) cĩ thể được tính từ hệ số h(n) như sau: h1( ) ( ) (n = −1nh1−n) (1.27)
hoặc với h(n) hữu hạn và chẳn thì
h1( ) ( ) (n = −1nh N−1−n) (1.28)
Từ hàm Wavelet mẹ (1.26), ta cĩ một lớp các hàm Wavelet khai triển ở dạng: ( )t j ( jt k) k j = 2 2 2 − , ψ ψ (1.29)
Trong đĩ 2j là tỷ lệ của t (j cĩ tỷ lệ là log2), 2-jk là phép dịch trong t, và 2j2
tồn tại chuẩn L2 của Wavelet tại các tỷ lệ khác nhau.
Một hàm g(t) ∈ L2 (R) cĩ thể được xây dựng thơng qua các hàm ϕk(t) và
ψj,k(t) theo biểu thức sau:
( ) ∑ ( ) ( ) ∑∑∞ ( ) ( ) = ∞ ∞ − ∞ ∞ − + = 0 , , j k j k t d j k t k c t g ϕ ψ (1.30)
Trong khai triển (1.30), tổng đầu tiên biểu diễn một độ phân giải thấp hay thơng tin thơ của g(t). Với việc tăng j ở tổng thứ 2, một hàm cĩ độ phân giải cao được cộng vào và vì vậy mức độ chi tiết tăng lên.
Các hệ số c(k) và d(j,k) trong (1.30) được tính như sau:
c( )k =c0( )k = g( )t ,ϕk( )t =∫g( ) ( )tϕk t dt (1.31)
và dj( )k =d( )j.k = g( )tψj,k( )t =∫g( )tψj,k( )t dt (1.32) Điều quan trọng ở điểm này là phải nhận biết mối quan hệ giữa phần tỷ lệ và phần Wavelet trong khai triển (1.30).