II. KHƠNG GIAN HILBERT:
b.Bất đẳng thức Bessel:
Nếu chúng ta cĩ một hệ thống vector trực chuẩn { }xi ∈E thì ∀y∈E đều thỏa mãn bất đẳng thức Bessel: ≥∑ k ky x y 2 2 (2.26)
Nếu ta cĩ một hệ thống trực chuẩn đầy đủ trong E, thì ta cĩ một cơ sở trực chuẩn trong E, và quan hệ Bessel trở thành đẳng thức, được gọi là đẳng thức Parseval.
c. Cơ sở trực chuẩn:
Một tập vector S ={ }xi được gọi là cơ sở trực chuẩn khi cĩ hai điều kiện sau:
+ Tất cả các vector trong S là trực chuẩn.
+ Nĩ là đầy đủ. Nghĩa là mỗi vector bất kỳ của khơng gian đều cĩ thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S.
Nĩi một cách khác, một hệ thống trực chuẩn { }xi được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E nếu với mỗi y ∈ E thì :
=∑
k k kx
y α (2.27)
Trong khơng gian hữu hướng ( Rn,Cn), cĩ một tập trực chuẩn kích thước n là đủ để cĩ một cơ sở trực chuẩn. Tuy nhiên, điều này chưa hẳn đã đúng trong khơng gian vơ hướng.
Định lý sau đây cho phép chúng ta kiểm tra một hệ thống trực chuẩn cĩ phải là cơ sở hay khơng.
Định lý: Cho một hệ thống trực chuẩn {x1,x2,xn}∈E, các điều kiện sau là tương đương :
(a) Tập các vector {x1,x2,xn} là một tập cơ sở. (b) Nếu xi,y =0với i = 1, … thì y = 0.
(c) Tập sinh ( ){ }xi là trù mật trong E, đĩ là mỗi vector trong E là một giới hạn của chuỗi vector trong tập sinh ( ){ }xi .
(d) Với mỗi y∈E: =∑ i i y x y 2 , 2 (2.28)
Đây là phương trình Parseval. (e) Với y1,y2∈E thì :
∑ ∗ = i i i ỳ ý y x y x y y , , 1 2 (2.29)
Đây là phương trình Parseval tổng quát.