1. Khai triển hoặc biến đổi Wavelet:
Một tín hiệu hoặc một hàm f(t) cĩ thể được phân tích, mơ tả hoặc xử lý nếu nĩ được biểu diễn như là một phân tích tuyến tính bởi:
=∑ ( ) l l l t a t f( ) ψ (1.1) Trong đĩ: l là một hệ số nguyên
al là các hệ số khai triển (cĩ giá trị thực)
ψl(t) là tập các giá trị thực của t, được gọi là tập khai triển.
Nếu khai triển (1.1) là duy nhất, thì đĩ gọi là cơ sở. Nếu cơ sở này là trực giao, cĩ nghĩa là :
k ≠ l (1.2) thì hệ số cĩ thể được tính bởi tích trong:
(1.3)
Nếu cơ sở là khơng trực giao, thì một tập cơ sở kép ψ~k( )t , tồn tại, bằng cách
dùng (1.3) với cơ sở kép ta sẽ được hệ số mong muốn.
2. Hệ số WAVELET:
Tập khai triển Wavelet là khơng duy nhất. Cĩ rất nhiều loại hệ thống Wavelet khác nhau được dùng rất hiệu quả nhưng chúng đều cĩ ba đặc tính sau:
(1) Một hệ thống Wavelet là một tập các khối để xây dựng hoặc biểu diễn một tín hiệu hoặc một hàm. Nĩ là một tập khai triển hai chiều (thường là một cơ sở) với vài lớp của tín hiệu một chiều (hoặc cao hơn). Nĩi cách khác, nếu một tập Wavelet được cho bởi ψj,k(t) với các chỉ số j,k = 1,2…, một khai triển tuyến tính là
( )=∑∑ ( ) k j k j k j t a t f ,ψ , với các tập hệ số a j,k.
(2) Khai triển Wavelet cho biết thơng tin về vị trí thời gian – tần số của tín hiệu. Điều này cĩ nghĩa rằng hầu hết năng lượng của tín hiệu được biểu diễn rõ ràng bởi một vài hệ số khai triển aj,k.
(3) Việc tính tốn các hệ số khai triển cĩ thể thực hiện một cách hiệu quả. Nhiều phép biến đổi Wavelet cĩ thể tính với O(N) cơng việc. Điều đĩ cĩ nghĩa rằng số phép nhân và phép cộng tăng tuyến tính với chiều dài của tín hiệu.
( ) ( ) =∫ ( ) ( )
= f t t f t t dt
3. Các đặt tính bổ xung của hệ thống Wavelet:
Cĩ ba đặt tính bổ xung của hệ thống Wavelet:
(1) Hầu hết các hệ thống Wavelet thuộc thế hệ thứ nhất được đưa ra từ một hàm tỷ lệ hoặc Wavelet đơn bằng một tỷ lệ hoặc một phép dịch đơn giản: Đặc tính hai chiều này đạt được từ hàm Wavelet (đơi lúc gọi là Wavelet mẹ) ψ(t) bằng cách:
( )t j ( jt k)
k
j = 2 2 2 −
, ψ
ψ j,k ∈ Z (1.4)
Hệ số 2j2 duy trì một sự độc lập chuẩn hằng số của thang j. k biểu diễn vị trí
về thời gian hoặc khơng gian và j biểu diễn vị trí về tần số hoặc tỷ lệ.
(2) Tất cả các hệ thống Wavelet hữu dụng đều thoả mãn điều kiện đa phân giải. Cĩ nghĩa rằng, nếu một tập các tín hiệu cĩ thể được biểu diễn bởi tổng các hàm ϕ(t – k), thì một tập hợp lớn hơn (bao gồm cả tín hiệu gốc) cĩ thể được biểu diển bởi tổng của các hàm ϕ(2t – k).
(3) Các hệ số cĩ độ phân giải thấp cĩ thể được tính từ các hệ số cĩ độ phân giải cao bằng một giải thuật cấu trúc cây gọi là dãi lọc. Điều này cho phép việc tính tốn rất hiệu quả các hệ số khai triển (được gọi là biến đổi Wavelet rời rạc) và quan hệ giữa biến đổi Wavelet với các phần trước đĩ trong xử lý tín hiệu số.
Phân tích Wavelet phù hợp với cả tín hiệu quá độ. Phân tích Fourier thích hợp cho tín hiệu tuần hồn hoặc các tín hiệu mà đặc tính của nĩ khơng đổi theo thời gian. Với phân tích Wavelet, nĩ cho phép một khai triển Wavelet của một sự kiện quá độ để được mơ hình bằng các hệ số. Đây là một thế mạnh trong việc áp dụng khai triển Wavelet trong phân tích tín hiệu. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});