CHƯƠNG 2 : XÁC THỰC TRONG CÁC MẠNG VÔ TUYẾN THẾ HỆ SAU
3.1. Hệ mật mã đường cong Elliptic
3.1.1.3. Phép nhân hệ số nguyên
Phép nhân hệ số nguyên là một phép toán mở rộng từ phép cộng. Theo đó tích của một điểm P thuộc được công (E) với một số nguyên dương k, là một điểm M thuộc (E), ký hiệu M = k.P. Điểm tích M được xác định bằng tổng của k điểm P.
Thuật toán nhân hệ số nguyên là một thuật toán quan trọng trong hệ mã hóa ECC. Bởi vậy đã có rất nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học, đưa ra nhiều phương pháp để tối ưu hóa thuật tốn này. Trong cuốn sách Guide to Elliptics Curve Cryptography [8], Hankerson đã giới thiệu 14 thuật toán. Tuy nhiên trong
Hệ số góc của tiếp tuyến tại P : s(3x2Pp) (2yP)
Ta có : (xR,yR) = (xP, yP) + (xP, yP) Với: xR = s2 – 2xP, và yR = yP + s(xR - xP)
Comment [u18]: Guide to Elliptics Curve
Cryptography. Darrel Hankerson , Alfred Menezes, Scott Vanstone. 2004 - Page 95
phạm vi của luận văn, học viên chỉ giới thiệu một thuật toán đơn giản nhất để minh họa phép nhân hệ số, đó là sử dụng phương pháp nhị phân từ trái qua phải (left-to- right binnary method).
Thuật toán 3.1 : Thuật toán nhân hệ số sử dụng phương pháp nhị phân từ trái qua phải
Input : Điểm P (E), hệ số k = (kt-1, … k2, k1, k0)2 là số nguyên dương Output: Điểm tích Q = k.P thuộc (E)
1 : Q = 2 : for i = t-1 to 0 do 2.1 : Q = 2.Q 2.2 : if ki = 1 then 2.2.1 : Q = Q + P 3: Return Q
Trong thuật toán 3.1, số các số 1 trong biểu diễn nhị phân của hệ số k kỳ vọng là m/2. Gọi A là thời gian của thuật toán cộng điểm, D là thời gian của thuật toán nhân đôi điểm. Do vậy thời gian thực hiện kỳ vọng của thuật toán 3.1 là:
2
A
m m D