Đường cong Elliptic

CHƯƠNG 2 : XÁC THỰC TRONG CÁC MẠNG VÔ TUYẾN THẾ HỆ SAU

3.1. Hệ mật mã đường cong Elliptic

3.1.1.1. Đường cong Elliptic

Theo William Stalling, đường cong Elliptic [28] trên trường số thực được định nghĩa bởi phương trình toan học:

2 ax 3 2

y  y by x cx dx e

Với a, b, c, d, e là các số thực. Tuy nhiên để đễ hiểu và dễ biểu diễn, ta có thể thu gọn dạng thức tổng quát (CT 4.1) về dạng đơn giản :

2 3

y x ax b

Với : 4a3 + 27b ≠ 0

Từ bây giờ, khi xét đường cong Elliptic (E), ta hiểu rằng đường cong đó có phương trình ở dạng thu gọn (CT 4.1b). Ta dễ dàng nhận thấy (E) có phương trình là hàm chẵn đối với biến y, do vậy đồ thị của (E) nhận trục hoành Ox là trục đối xứng.

Với mỗi hệ số (a,b) khác nhau, ta có một đường cong (E) khác nhau. Mỗi đường cong (E) khác nhau có tập hợp các điểm thuộc đường cong đó.

(7)

(8)

Hình 3.1a : y2x35x3 Hình 3.1b : y2x35x8

Comment [u17]: William Stalling (2005)

“Cryptography and Network Security”, Prentice Hall Publisher, pp 304

Xét tập các điểm năm trên 1 đường cong (E), ta định nghĩa các luật sau:

 Điểm Θ là điểm thuộc (E) nằm ở vô cùng, được gọi là phần tử trung hòa.

 Với mỗi điểm P=(x,y), phần tử đối của P là điểm –P=(x,-yy), ta định nghĩa tổng 2 điểm P + (-P) = P – P = Θ. Ta nhận thấy phần tử -P là điểm đối xứng của P qua trục Ox.

 Với 2 điểm P=(xP, yP) và Q = (xQ, yQ) với xP≠xQ, 1 đường thẳng đi qua 2

điểm P, Q sẽ giao với (E) tại một điểm duy nhất R, ta định nghĩa điểm R= – (P + Q). Nếu đường thẳng này là tiếp tuyến của (E) tại điểm P hoặc

Q thì tương ứng R ≡ P và R ≡ Q. Điểm đối xứng của R là –R được gọi

là điểm tổng của P và Q.

 Đường thẳng đi qua P và –P (Tức P và Q có cùng hồnh độ), sẽ giao với

(E) tại điểm vơ cùng, do vậy R = P + (-P) = Θ.

 Để nhân đôi điểm P, ta vẽ tiếp tuyến của (E) tại P, tiếp tuyến này sẽ giao

với (E) tại điểm Q, ta có Q = -(P+P)=-2P. Hay –Q= 2P

Với những luật trên, tập các điểm điểm thuộc 1 đường cong (E) tạo thành một nhóm Abel. Ở phần tiếp theo, ta sẽ lần lượt xét kỹ hơn các phép toán cộng, phép nhân đơi điểm, phép nhân hệ số trong nhóm Abel này. Đây chính là nền tảng để xây dựng hệ mật mã ECC.