Chúng ta biết rằng đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ Ca(S0,T,X)≥ Max(0,S0 – X)
Vì ở đây yêu cầu thực hiện ngay là có thể được, chúng ta không thể kết luận tương tự như vậy đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một giới hạn dưới cho quyền chọn mua kiểu Châu Âu, giới hạn này sẽ cao hơn giá trị nội tại của một quyền chọn mua kiểu Mỹ.
Một lần nữa xem xét hai danh mục đầu tư A và B. Danh mục A gồm một
cổ phiếu đang được định giá là S0, còn danh mục B gồm một quyền chọn
mua kiểu Châu Âu có giá Ce(S0,T,X) và trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X,
và vì vậy có hiện giá là X(1+r)-T. Giá trị hiện tại của danh mục B là Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T
Thu nhập khi đáo hạn của danh mục A và B
Danh mục Giá trị hiện tại ST ≤X ST >X
A S0 ST ST
B Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T X (ST – X) +X = ST
Thu nhập từ danh mục B luôn ít nhất là bằng với thu nhập của danh mục A và đôi khi còn lớn hơn. Các nhà đầu tư sẽ nhận thấy điều này và định giá danh mục B tối thiểu cũng bằng với danh mục a, có nghĩa là:
Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T ≥ S0
⇒ Ce(S0,T,X) ≥ S0 - X(1+r)-T
Nếu S0 - X(1+r)-T là âm, chúng ta xem giá trị thấp nhất của quyền chọn
mua là 0. Kết hợp các kết quả này cho ta một giới hạn dưới: Ce(S0,T,X) ≥ Max(0, S0 - X(1+r)-T)
Nếu giá quyền chọn mua thấp hơn giá cổ phiếu cơ sở trừ đi hiện giá của giá thực hiện, chúng ta có thể xây dựng một danh mục kinh doanh chênh lệch giá. Chúng ta mua quyền chọn mua và trái phiếu phi rủi ro và bán khống tài sản cơ sở. Danh mục này có dòng tiền ban đầu dương vì giá quyền chọn cộng với giá trái phiếu thấp hơn giá cổ phiếu. Khi đáo hạn, thu nhập của danh mục
là X – ST nếu C > ST và bằng 0 nếu ngược lại. Danh mục có dòng tiền dương
ngay bây giờ và có dòng tiền hoặc bằng không hoặc dương khi đáo hạn.
Hình 2.5 thể hiện kết quả của quyền mua kiểu Châu Âu. Đường cong là giá quyền chọn mua, nằm trên đường giới hạn dưới. Khi thời gian đáo hạn đến gần, thời gian đến khi đáo hạn giảm đến mức mà đường giới hạn dưới di chuyển sang bên phải. Giá trị thời gian cũng giảm xuống đối với quyền chọn và di chuyển theo đường giới hạn dưới, tất cả đều dần về giá trị nội tại,
Max(0,S0 – X), khi đáo hạn.
Quyền chọn mua kiểu Mỹ so với kiểu Châu Âu
Ca(S0,T,X) ≥ Ce(S0,T,X)