Tác động lên giá trị quyền chọn. Xét hai quyền chọn mua kiểu Châu Âu chỉ khác nhau giá thực hiện, giá thực hiện của hai quyền chọn lần lượt là X1và X2, X2>X1.
Xét hai danh mục đầu tư, A và B. Danh mục đầu tư A bao gồm một vị
thế mua quyền chọn mua với giá thực hiện là X1 và một vị thế bán quyền chọn
mua với giá thực hiện là X2. Danh mục này được gọi là chênh lệch tiền tệ. Vì
chúng ta chi ra Ce(S0,T,X1) và nhận về Ce(S0,T,X2), giá trị ban đầu của danh mục này là Ce(S0,T,X1) - Ce(S0,T,X2). Chúng ta vẫn chưa biết giá trị ban đầu âm hay dương, điều đó phụ thuộc vào giá quyền chọn nào cao hơn.
Danh mục B chỉ gồm các trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X2 – X1. Các
trái phiếu này được xem là các công cụ chiết khấu thuần tuý, như trái phiếu Chính phủ ngắn hạn, và đáo hạn khi quyền chọn đáo hạn. Vì vậy giá trị của
danh mục này là hiện giá của mệnh giá của trái phiếu, hay đơn giản là (X2 –
X1)(1+r)-T.
Đối với danh mục A, thứ nhất chúng ta cần xác định giá trị danh mục khi đáo hạn. Giá trị của bất kỳ danh mục nào sẽ là dòng tiền của nó hoặc khoản thanh toán khi quyền chọn đáo hạn, phụ thuộc vào giá tài sản cơ sở khi đáo hạn, ST. Giá tài sản cơ sở khi đáo hạn có 3 trường hợp: (1) ST<X1; (2)
2
1 S X
X ≤ T < ; hay (3) X1 <X2 ≤ST.
Khi ST lớn hơn X1, quyền chọn mua có giá thực hiện là X1 sẽ có giá trị ST
– X1. Nếu ST lớn hơn X2, quyền chọn mua có giá thực hiện X2 sẽ có giá trị ST
– X2. Tuy nhiên chúng ta có vị thế bán đối với quyền chọn có giá trị thực hiện
X2. Vì người mua nhận được khoản thanh toán ST – X2 khi quyền chọn đáo
của hai quyền chọn, ta thầy rằng danh mục A sẽ luôn tạo ra khoản giá trị không nhỏ hơn 0, và trong suốt một số trường hợp, lớn hơn 0. Vì vậy
Ce(S0,T,X1) ≥ Ce(S0,T,X2)
Với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua ở vị thế mua không nhất thiết phải được thực hiện, do đó chúng ta chỉ cần quan tâm đến điều gì sẽ xảy ra nếu quyền chọn mua ở vị thế bán được thực hiện sớm.
Giả định rằng giá cổ phiếu cơ sở trước khi đáo hạn là St và lớn hơn X2.
Vì bất cứ lý do nào đó, quyền chọn được thực hiện. Điều này tạo ra một dòng
tiền âm, -(St - X2). Nhà kinh doanh sau đó thực hiện quyền chọn mua ở vị thế
mua, điều này tạo ra một dòng tiền dương St – X1. Tổng hai dòng tiền này là
X2 – X1, có giá trị dương vì X2>X1.
Vì vậy thực hiện quyền chọn sớm sẽ không tạo ra một dòng tiền âm. Vì vậy danh mục A sẽ không bao giờ tạo ra dòng tiền âm khi đáo hạn, ngay cả khi quyền chọn là Kiểu Mỹ. Vì vậy, kết quả của chúng ta đúng đối với cả quyền chọn mua kiểu Mỹ lẫn kiểu Châu Âu.
Kết quả này cho thấy rằng giá của quyền chọn mua với giá thực hiện thấp hơn không thể thấp hơn giá quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn. Tuy nhiên hai mức giá quyền chọn mua này có thể bằng nhau.
Giới hạn chênh lệch chi phí. So sánh kết quả của danh mục A với danh mục B, ta thấy rằng lợi nhuận của danh mục B không bao giờ thấp hơn danh mục A. Vì vậy các nhà đầu tư sẽ không bao giờ chi trả cho danh mục B thấp hơn danh mục A. Giá của danh mục A là Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2), giá của quyền chọn được mua trừ đi giá của quyền chọn đã bán. Giá của danh mục B là (X2 – X1)(1+r)-T hiện giá của mệnh giá trái phiếu. Vì vậy
(X2 – X1)(1+r)-T ≥ Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2)
Điều này có nghĩa là lợi thế của việc mua một quyền chọn với giá thực hiện thấp hơn so với một quyền chọn có giá thực hiện cao hơn sẽ không cao hơn chênh lệch giá thực hiện.
Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua có giá thực hiện thấp hơn có giá trị ít nhất cũng bằng với quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn. Tuy nhiên kết luận rằng chênh lệch giá thực hiện không đúng đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ. Nếu cả hai quyền chọn mua đều được thực hiện ở thời
điểm t trước khi đáo hạn, và khoản thanh toán X2 – X1 được đầu tư vào trái
phiếu phi rủi ro, lợi nhuận của danh mục A sẽ là (X2 – X1)(1+r)(T-t)
Giá trị này sẽ lớn giá trị của danh mục B là X2 – X1. Vì vậy danh mục B sẽ
không luôn luôn có hiệu quả lơn hơn hoặc bằng danh mục A.
Tuy nhiên, nếu các trái phiếu trong danh mục B có mệnh giá là (X2 – X1)
(1+r)T, và vì vậy có hiện giá là X2 – X1, danh mục B sẽ luôn hiệu quả hơn
danh mục A. Trong trường hợp đó, giá trị hiện tại của danh mục A không thể vượt hơn giá trị hiện tại của danh mục B. Do đó, chúng ta có thể kết luận đối với quyền chọn kiểu Mỹ:
(X2 – X1) ≥ Ca(S0,T,X1) – Ca(S0,T,X2)