Một quyền chọn có một đời sống được quy định, thông thường được biểu diễn bằng số ngày. Giả sử đời sống của quyền chọn là một đơn vị thời gian. Khoảng thời gian này có thể dài ngắn tuỳ thuộc vào nhu cầu của quyền chọn. Nếu đời sống của quyền chọn là một thời kỳ duy nhất. Mô hình này được gọi là mô hình nhị phân một thời kỳ.
Trong việc ứng dụng mô hình nhị phân vào một tài sản cơ sở, thì chúng ta thấy dãy các kết quả khả thi có thể lớn hơn hai trạng thái (tăng hoặc giảm
L ợ i n h u ậ n 0 T1 T2 T
của tài sản cơ sở) mà phân phối nhị phân có thể đáp ứng, tuy nhiên điều này cũng không làm mô hình bị mất giá trị. Tác dụng của nó là làm đơn giản hoá.
Xét tài sản cơ sở là cổ phiếu, một quyền chọn mua cổ phiếu có giá trị S1,
giá thực hiện là X và giá hiện tại là C Quyền chọn mua này còn giá trị một thời gian nữa thì hết hiệu lực. Ngày bắt đầu thời kỳ là hôm nay và được gọi là thời điểm 0. Ngày kết thúc thời kỳ gọi là thời điểm 1. Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một trong hai giá trị sau: Nó có thể tăng lên theo một tham số u hoặc giảm xuống theo một tham số d. Nếu nó tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống thì nó sẽ là Sd và giá trị của quyền chọn là giá trị nội tại của nó:
Cu = Max(0,Su – X) hoặc Cd = Max(0,Sd – X); u>1, d<1.
Sơ đồ cây nhị phân một thời kỳ
(a) Đường đi của giá cổ phiếu
Thời điểm 0 Thời điểm 1 Su
S
Sd
(b) Đường đi của giá quyền chọn mua Thời điểm 0 Thời điểm 1 Cu C
Cd
sống còn lại của quyền chọn. Lãi suất phi rủi ro nằm trong khoảng giữa tỷ suất sinh lợi của trường hợp giá cổ phiếu tăng và tỷ suất sinh lợi của trường hợp giá cổ phiếu giảm. Do đó,
d < 1+r < u2.
Chúng ta giả định rằng tất cả các nhà đầu tư có thể đi vay và cho vay theo lãi suất phi rủi ro.
Lập một danh mục gồm h cổ phiếu và một vị thế bán quyền chọn mua. Giá trị hiện tại của danh mục là giá trị của h cổ phiếu trừ đi giá trị của vị thế bán quyền chọn mua. Ký hiệu là V
V = hS – C
V là khoản tiền cần để xây dựng danh mục này. Tại ngày đáo hạn, giá trị
của danh mục hoặc là Vu nếu giá cổ phiếu tăng hoặc là Vd nếu giá cổ phiếu
giảm
Vu = hSu – Cu
Vd = hSd – Cd
Với Vu, Vd là khoản tiền mà chúng ta thu được từ kết quả của danh mục
khi quyền chọn đáo hạn. Nếu kết quả của danh mục là không đổi bất chấp giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục được gọi là phi rủi ro. Chúng ta
có thể chọn một giá trị của h cho điều này xảy ra. h được gọi là tỷ số phòng
ngừa. Ta chỉ cần đơn giản cho Vu = Vd, khi đó: hSu – Cu = hSd – Cd h = Sd Su C Cu d − −
Vì chúng ta đã biết được giá trị của S, u và d nên chúng ta có thể xác định được Cu, Cd và h.
Một khoản đầu tư phi rủi ro sẽ thu được một tỷ suất sinh lợi bằng lãi suất phi rủi ro. Do đó, giá trị của danh mục vào thời điểm một thời kỳ sau sẽ bằng với giá trị hiện tại tính cho một thời kỳ theo lãi suất phi rủi ro. Nếu điều này không đúng thì giá trị danh mục có thể được định giá sai hoặc là hàm chứa trong đó một cớ hội arbitrage tiềm ẩn.
Nếu giá trị ban đầu của danh mục tăng theo lãi suất phi rủi ro thì giá trị của nó tại ngày quyền chọn đáo hạn sẽ là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(hS – C)(1 + r)
Hai giá trị của danh mục tại ngày đáo hạn, Vu và Vd là bằng nhau, vì vậy
chúng ta có thể chọn một trong hai. Chọn Vu và cho nó bằng với giá trị ban
đầu của danh mục tính theo lãi suất phi rủi ro chúng ta được V(1 + r) = Vu
(hS – C)(1 + r) = hSu – Cu
Thế h bởi công thức ở trên vào công thức này để tìm C, chúng ta được công thức định giá quyền chọn C= r C p pCu d + − + 1 ) 1 ( Với p được tính bởi
p = 1+ur−−dd
p được gọi là xác suất dung hoà rủi ro.