thuật toán phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng cho mô hình sóng động học một chiều
Theo Anderson [99], sơ đồ số ổn định là sơ đồ có sai số không tăng thêm (không được khuyếch đại thêm) trong quá trình thực hiện các bước tính. Điều đó nhằm đảm bảo cho việc tính toán được hội tụ và thông thường hệ số Courant được sử dụng để giới hạn, đảm bảo bước tính có ý nghĩa vật lý, không dẫn tới phá huỷ các mặt cắt sóng do sự không phù hợp của quy mô không gian – thời gian gây nên. Trong [126], Jaber F. H. và Mohtar R. H. đã tiến hành các khảo sát độ ổn định và độ
chính xác của các sơ đồ số khi sử dụng để giải bài toán dòng chảy tràn sườn dốc bằng mô hình sóng động học một chiều.
Quan hệ giữa bước thời gian và sai số xác định từ chuỗi kết quả sử dụng các bước thời gian khác nhau. Khi giá trị bước thời gian tăng, sai số có thể sẽ tăng, từ đó sai số của việc rời rạc theo không gian là nhỏ. ở đây tồn tại một giá trị bước thời gian mà có thể giải quyết bài toán với một sai số nhất định. Việc lựa chọn bước thời gian nhỏ hơn sẽ làm kéo dài thời gian tính toán không cần thiết, trong khi đó với bước thời gian lớn hơn cho kết quả sai số lớn và dẫn đến các nhiễu động có thể phá huỷ lời giải đạt được. Để giải quyết vấn đề, sử dụng một vài cỡ lưới khác nhau tạo mối quan hệ không thứ nguyên giữa cỡ lưới và bước thời gian tối ưu nhất thể hiện trong phương trình hồi quy. Thời gian tập trung nước, vốn phụ thuộc vào trận mưa, hệ số nhám và độ dốc của lưu vực trong phương trình là các thông số đặc trưng, vì thế tiêu chuẩn bước thời gian có thể sử dụng trong các kịch bản khác nhau để có thể bảo đảm tính đúng đắn của các bước thời gian động mới.
Jaber F. H. và Mohtar R. H. [125] triển khai và thử nghiệm các phương trình bước thời gian động đối với sơ đồ phần tử hữu hạn chi tiết trong phương trình sóng động học cho dòng chảy tràn. Việc xây dựng và thử nghiệm được thực hiện với sử dụng nhiều tổ hợp của các yếu tố: mưa, các thông số bề mặt không đổi và biến đổi theo không gian và thời gian. Việc ước lượng bước thời gian động t, với sơ đồ thích hợp cho trường hợp 1: re và không đổi, trường hợp 2: re biến đổi và
không đổi, trường hợp 3: re không đổi và biến đổi, và trường hợp 4: re và đều biến đổi và nhận thấy rằng, bước thời gian động tìm được là một tiêu chuẩn tốt để xác định phạm vi của bước thời gian đảm bảo độ chính xác và ổn định. Các phương trình bước thời gian động có thể được tích hợp trong các chương trình máy tính sử dụng sơ đồ tổng hợp giải bài toán sóng động học dòng chảy tràn một chiều có thể được tính toán tự động phụ thuộc vào việc xác định kích thước lưới của người sử dụng. Bước thời gian động chính là giới hạn trên của bước thời gian tính toán trong sơ đồ phần tử hữu hạn có bước thời gian biến đổi cho bài toán dòng chảy tràn.
nghiệm số với các sơ đồ chi tiết, sơ đồ tổng hợp và sơ đồ ngược dòng, sử dụng phép phân tích chuỗi Fourier và giá trị riêng. Nó cũng chính là việc phân tích bước thời gian tiêu chuẩn cho 3 sơ đồ. Giá trị riêng của ma trận kết quả được tìm thấy là luôn dương với mọi x và t, đủ để kết luận rằng không có nhiễu động xuất phát từ việc lấy tích phân theo không gian của phương trình sóng động học và cho phép ta tin tưởng rằng các nhiễu động này có thể xuất hiện do các sơ đồ tích phân theo thời gian. Bước thời gian có thể được tính toán tự động phụ thuộc vào kích cỡ lưới do người sử dụng như đã luận bàn ở trên. Qua phân tích các sơ đồ tính, Jaber và Mohtar [126] kết luận rằng: sơ đồ ngược dòng không đối xứng để thay thế xử lý sai phân trung tâm đối xứng thành phần chuyển vị trong phương trình sóng động học không khử được những nhiễu động của cả sơ đồ tổng hợp và sơ đồ chi tiết. Việc thay thế sơ đồ chi tiết bằng ma trận gộp cũng đã được đánh giá là sơ đồ tổng hợp cải thiện đáng kể nghiệm mà không làm giảm đi độ chính xác của nó.
Phân tích tính ổn định suy giảm những nhiễu động trong dòng chảy tràn xuất phát từ số Courant lớn trong sơ đồ ngược dòng là không hiệu quả. Những cải thiện kết quả của sơ đồ tổng hợp là tuỳ ý với ma trận đường chéo thưa đã loại bỏ các nhiễu số từ những thành phần khác không nằm trên đường chéo.
Nghiên cứu của Jaber F. H. và Mohtar R. H. đã đưa ra tiêu chuẩn bước thời gian động mới cho việc giải quyết vấn đề dòng chảy tràn một chiều với sơ đồ tổng hợp. Bước thời gian động tìm được là một tiêu chuẩn tốt để xác định phạm vi của bước thời gian đảm bảo độ chính xác và ổn định, phương trình của nó có thể được tích hợp trong các chương trình máy tính sử dụng sơ đồ tổng hợp giải bài toán sóng động học dòng chảy tràn một chiều, được tính toán tự động chính là giới hạn trên của bước thời gian tính toán trong sơ đồ phần tử hữu hạn có bước thời gian biến đổi đối với dòng chảy tràn.
Cuối cùng, sau khi phân tích tính ổn định và độ chính xác của cả 3 sơ đồ số Jaber F. H. và Mohtar R. H. kết luận rằng: sơ đồ tổng hợp trong phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin với các bài toán chuyển tiếp là phù hợp nhất để giải phương trình dòng chảy sườn dốc một chiều.
Nhằm nâng cao tính ổn định và độ chính xác trong việc mô phỏng không gian – thời gian đối với việc áp dụng mô hình sóng động học một chiều, phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng dòng chảy lũ trên các lưu vực sông Miền Trung, tác giả và các cộng sự đã tiến hành thực nghiệm số trên lưu vực sông Trà Khúc – trạm Sơn Giang, kết quả đã được công bố [4, 5, 70].
Các phương pháp sau được áp dụng trong các thực nghiệm số: 1) phương pháp sai phân hiện; 2) phương pháp nửa ẩn; 3) phương pháp Runge-Kutta bậc 3 sử dụng ma trận trung tâm.
Lưu vực sông Trà Khúc tính đến trạm Sơn Giang được chia làm 9 đoạn sông gồm 39 dải dòng chảy và 150 phần tử có các kích thước khác nhau đã được sử dụng trong các thực nghiệm số. Kết quả cho thấy phương pháp sai phân hiện ổn định trong khoảng thời gian tính 10 giây, phương pháp nửa ẩn ổn định trong khoảng 5 phút và phương pháp Runge-Kutta ổn định trong khoảng 10 phút. Nhận thấy rằng: đối với mô hình sóng động học một chiều phương pháp phần tử hữu hạn, sơ đồ có hiệu quả về tính ổn định và độ chính xác để giải hệ phương trình vi phân phi tuyến tính là phương pháp Runge-Kutta xét về góc độ lý thuyết cũng như thực nghiệm số [5], phù hợp với các nghiên cứu của Jaber F. H. và Mohtar R. H. [126].
Từ kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm số nói trên, tác giả đã lựa chọn sơ đồ tổng hợp để xấp xỉ không gian và phương pháp Runge-Kutta để giải hệ phương trình vi phân theo thời gian trong phương pháp phần tử hữu hạn. Dựa trên những nghiên cứu này đã tiến hành xây dựng chương trình mô phỏng lũ cho kết quả khả quan trên các lưu vực Trà Khúc – Sơn Giang [24, 55], Vệ – An Chỉ [57], Thu Bồn – Nông Sơn [62] và Tả Trạch – Thượng Nhật [65].
3.2. Hiệu chỉnh phương pháp SCS, nâng cao khả năng mô phỏng lũ trên các lưu vực sông ngòi miền trung