động học bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Việc giải phương trình sóng động học đối với dòng chảy tràn sử dụng sơ đồ phần tử hữu hạn Galerkin thường gây nên nhiễu động số do số hạng bất đối xứng thứ nhất của đạo hàm theo không gian. Đã có nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề sóng động học sử dụng phân tích phần tử hữu hạn [120,143,156]. Nghiệm số trị của những phương trình này sẽ vấp phải các vấn đề về tính ổn định và hội tụ.
Christie cùng các cộng sự [110] cho rằng, nên tránh sử dụng xấp xỉ sai phân trung tâm của đạo hàm bậc nhất vì nó làm tăng dao động số với các kích thước lưới tính trung bình và phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin, sử dụng dạng hàm tuyến tính dạng kim tự tháp đối xứng chính là mô phỏng công thức sai phân trung tâm đã chứa những dao động có sẵn. Hughes [124] cho biết những khó khăn xuất hiện khi các toán tử chuyển vị là bất đối xứng và kết quả gây nên những dao động giả. Theo Fiedler và Ramiez [113], với chiều sâu dòng chảy nhỏ thì những dao động nhỏ sẽ phá huỷ nghiệm cho dòng chảy tràn trên bề mặt và việc hạn chế dao động là một nhiệm vụ rất khó khăn do bản chất dao động sẵn có trong các phương trình. Zang và Cundy [159] sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn MacCormak - là sơ đồ sai phân hiện hai bước, để giải quyết các vấn đề dòng chảy tràn và cũng nhận định rằng luôn có
những dao động trên các đường quá trình và trong một vài trường hợp là không hợp lý buộc phải dừng tính toán.
Abbott và Basco [96] cho rằng những phương trình nước nông thường nghiêng về những thành phần Fourier tần số cao, các dao động 2x, khi sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm bởi vì giá trị của độ dốc ước lượng bởi sai phân là độc lập với biến phụ thuộc tại điểm giữa của hai nút lưới. Chan và Williamson [109] thì lại cho rằng phương trình đạo hàm riêng, bao gồm đạo hàm bậc nhất theo không gian, sẽ xuất hiện dao dộng trong nghiệm theo phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin khi kích thước ô lưới vượt quá giá trị tới hạn dựa trên số Peclet nhỏ hơn 2. Các tác giả không bàn luận đến những trường hợp mà số Peclet lớn vô cùng như trường hợp dòng chảy sườn dốc. Tuy nhiên, những thảo luận về thiết lập một lưới phần tử hữu hạn mịn với bước thời gian nhỏ để giải quyết vấn đề thì cũng không đáp ứng được về hiệu quả tính toán thực tiễn (do yêu cầu khả năng máy tính quá cao).
Hầu hết các thảo luận đều cùng thống nhất về quan điểm rằng, các dao động trong khi giải hệ phương trình sóng động học là luôn tồn tại. Chan và Williamson [109] đã mô tả sơ đồ Upwind như là sự thay thế sơ đồ sai phân trung tâm bằng sai phân lùi và cho rằng điều này sẽ làm giảm độ chính xác. Heinrich cùng các cộng sự [121] thấy rằng sơ đồ phần tử hữu hạn Upwind, sử dụng hàm trọng số có dạng hàm bất đối xứng khác với sử dụng hàm hình dạng và kết luận rằng sự giảm độ chính xác của cả hai sơ đồ là tương đương. Tisdale cùng các cộng sự [153] đã phát triển sơ đồ
Upwind đường dòng với bài toán dòng chảy hai chiều bằng việc cô lập số hạng chuyển vị trong phương trình theo độ dốc chính và giải quyết vấn đề bằng kỹ thuật
Upwind, đã công bố rằng, sơ đồ giải quyết được vấn đề mà không xuất hiện dao động số trong khi ảnh hưởng của nó tới độ chính xác là có thể bỏ qua. Mặc dầu vậy, nghiên cứu này dựa trên việc biến đổi hệ phương trình ban đầu và chỉ giới hạn cho những bề mặt đơn giản, nơi điểm nút có hướng dốc xuống của mỗi phần tử có thể xác định bằng các chương trình con đã được thử nghiệm đối với những bề mặt dòng chảy phức tạp. Fiedler và Ramirez [113] sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn Upwind
MacCormack để tính dòng chảy sườn dốc và phát hiện thêm rằng bên cạnh việc “ngược dòng”, hàm làm trơn có thể hạn chế được những dao động ở những khu vực
có gradient lớn như các dao động tần số cao và sử dụng độ sâu dòng chảy bình quân trọng số dọc theo các nút, ở những khu vực có gradient thấp.
Anderson cùng các cộng sự [99] giải thích rằng những dao động là do sự lệnh pha trong các số hạng thuộc chuỗi số Fourier của nghiệm số trị và định nghĩa sơ đồ số ổn định là sơ đồ mà những sai số từ bất kỳ nguồn nào cũng không được phép gia tăng trong quá trình tính từ bước thời gian này đến bước thời gian khác. Họ đề nghị phân tích chuỗi Fourier để thành lập giới hạn ổn định cho những phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với khả năng có thể mở rộng một cách gần đúng các quy tắc này cho các phương trình phi tuyến. Katopodes [287] đã dùng phép phân tích
Fourier để nghiên cứu tính ổn định và dao động của phương trình sóng động học tuyến tính đối với dòng chảy kênh có tốc độ di chuyển sóng không đổi và không có dòng chảy nhập lưu và phát biểu rằng, do sự tồn tại của tính không liên tục, hầu hết các phương pháp rời rạc hoá đều làm xuất hiện dao động giả tạo sau các bước nhảy số, chỉ có thể loại trừ bằng một số các thuật toán chọn lựa, đảm bảo phải nhạy và địa phương hoá trong những khu vực có sự phân tán mạnh của tốc độ sóng. Singh [146] chỉ ra rằng việc phân tích sự ổn định tuyến tính có thể áp dụng cho hệ phương trình sóng động học tuyến tính hoá và cho phép ta nhận biết rõ những sơ đồ không phù hợp hoặc độ dài bước thời gian thích hợp với sơ đồ ổn định có điều kiện. Việc sử dụng ma trận “tổng cộng” (lumped) để thay thế cho ma trận ”chi tiết” (consistent) đã giảm đáng kể các dao dộng trong việc tính toán dòng chảy kênh.
Việc lựa chọn bước nhảy thời gian thích hợp thường phụ thuộc vào kinh nghiệm. Bajracharya và Barry [102] cho rằng việc giảm dần bước thời gian không phải bao giờ cũng cho kết quả chính xác hơn và coi tối ưu nhất là giải pháp đảm bảo độ ổn định và chính xác với thời gian tính toán nhỏ nhất. Hromadka và DeVries [123] thấy rằng, sau một chuỗi thử nghiệm khi thay đổi xvà t, việc sử dụng phương pháp sóng động học để diễn toán trong kênh dẫn cần phải có các đánh giá trong các mô hình thuỷ văn. Hơn nữa, những mô hình sóng động học cần được thử nghiệm để lựa chọn xvà ttối ưu. Jaber và Mohtar [125] phát triển những phương trình kinh nghiệm cho các bước thời gian động [132-134], đảm bảo độ chính xác và ổn định cho sơ đồ chi tiết với lời giải sóng động học. Bước thời gian động này biến
đổi theo số các phần tử và thời gian tập trung nước của lưu vực. Nghiên cứu này giới hạn cho phương pháp Galerkin khi sử dụng sơ đồ tổng hợp đã chỉ ra rằng, những dao động là đáng kể khi bước thời gian tính lớn hơn bước thời gian động giới hạn nhưng không gợi ý cách nào để khử những dao động này.
Khi sử dụng phương trình sóng động học, sốc động học phát sinh ở nơi mà những con sóng tốc độ cao bắt kịp những con sóng tốc độ thấp dẫn đến phá huỷ mặt cắt sóng. Singh [146] sử dụng phương pháp xấp xỉ để hiệu chỉnh va chạm nhằm giải quyết vấn đề và nhấn mạnh rằng, sử dụng phương pháp số thường bỏ qua hiện tượng sốc và không sử dụng phương pháp hiệu chỉnh là không phù hợp khi áp dụng lý thuyết sóng động học. Vấn đề là cần thử nghiệm các sơ đồ khác nhau, xây dựng và kiểm tra bước thời gian động khi gây nên các sốc sóng động học. Mô hình sóng động học là cơ sở của nhiều mô hình nghiên cứu và phần mềm thương mại sẵn có trên thị trường, coi lưu vực như một bề mặt chảy tràn, dùng những phương pháp có sẵn để tính toán dòng chảy vượt giới hạn như HEC-1, DHI, SWMM và USDA [145]. Có một vài nghiên cứu giải phương trình sóng động học cho cả trường hợp lưu vực hội tụ và phân kỳ [147]. Trong cả hai trường hợp đều thêm một số hạng phụ vào phương trình bảo toàn vật chất và biến đổi nó từ dạng nguyên bản. Các kết quả áp dụng cho phương trình sóng động học nguyên bản không cần thiết phải áp dụng cho phương trình đã biến đổi.
Từ các tổng quan trên cho thấy, để nâng cao độ ổn định và độ chính xác của mô hình sóng động học một chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn cần phải tiến hành lựa chọn được một sơ đồ số với các bước thời gian thích hợp trong việc mô phỏng không gian và thời gian đối với các lưu vực nghiên cứu. Đây là một vấn đề mang tính lý luận, như đã bàn luận ở trên và cần được kiểm nghiệm bằng thực tiễn.