lực và chuyển vị của dầm
MathCad là một phần mềm lập trình toán học tương đối phổ biến hiện nay và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực liên quan tới phương pháp tính. Đây là phần mềm toán học đơn giản và giúp giải quyết hiệu quả các bài toán có khối
lượng tính toán phức tạp. Trong phần mềm MathCad có các hàm nội suy cho phép xấp xỉ hóa tập hợp các giá trị rời rạc (x, y) và dùng các hàm này cho phép xác định các đại lượng nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn.
3.1. Các hàm xấp xỉ nội suy
3.1.1. Hàm nội suy tuyến tính
Hàm nội suy tuyến tính là hàm nội suy đơn giản nhất, là tập hợp của các quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường gấp khúc. Hàm nội suy A{X} gồm các đoạn thẳng nối các điểm chia như thể hiện trên hình 1.
Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm linterp(x, y, t) – là hàm xấp xỉ các véctơ x và y theo quan hệ tuyến tính trên từng đoạn, trong đó :
x – véctơ biến số, các phần tử được xếp theo thứ tự tăng dần;
y – véctơ giá trị tương ứng;
t – giá trị biến số mà tại điểm đó cần thực hiện phép nội suy.
3.1.2. Hàm nội suy lập phương
Trong thực tế thì nếu cần phải nối các điểm với nhau thì thường ít nối bằng các đường thẳng gấp khúc mà người ta hay nối bằng đường cong mịn để tăng độ chính xác. Để làm được điều đó thì người ta thường dùng đường nội suy spline bậc 3, tức là các đoạn được nối với nhau bằng đường cong bậc 3. Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ các véctơ x và y bằng spline lập phương như thể hiện trên hình 3 , trong đó ngoài các véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính thì còn bổ sung thêm các véc tơ sau:
s – véctơ đạo hàm bậc 2, được suy ra từ các hàm cspline, pspline hoặc lspline;
Hình 7. Dầm 2 đầu ngàm
KHOA H“C & C«NG NGHª
lspline(x, y) – véctơ giá trị các hệ số spline tuyến tính; pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương; cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương; x, y – véc tơ dữ liệu đầu vào.
3.2. Sử dụng các hàm xấp xỉ nội suy trong bài toán dầm
Khi sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm ứng dụng MathCad cho phép giải bài toán tính nội lực và chuyển vị của dầm có điều kiện biên bất kì chịu tải trọng. Để minh họa việc triển khai các thao tác lập trình trong MathCad ta xét bài toán dầm liên kết 2 đầu ngàm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q như thể hiện trên hình 7.
Nghiệm giải tích của bài toán này có thể viết dưới dạng sau: 2 4 3 2 (z) 24 x 12 x 24 x q ql q l V z z z EI EI EI ⋅ = − + − ⋅ ; 2 3 2 (z) 6 x 4 x 12 x q z ql z q l z EI EI EI ϕ = − + − ⋅ ⋅ ; 2 2 (z) 2 2 12 x q ql q l M = − z + z− ⋅ ;
Hình 9. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương
Bảng 1. So sánh giá trị nội lực và chuyển vị lớn nhất của dầm theo phương pháp giải tích và phương pháp sai phân hữu hạn
Đại lượng Tính theo phương pháp giải tích
Tính theo phương pháp SPHH với bước sai phân
Δ=0.06m Sai số (%) Δ max 2 x l M =M 22.5 kNm 22.44 0.27 ( ) max 0 y Q =Q 45 kN 44.1 2 max 2 l ϕ = ϕ 0.024 rad 0.023 5.6 max 2 l V = V 7.604x103 m 7.026x103 7.6
Bảng 2. Sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt khi tính theo phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác nhau và phương pháp giải tích
Đại lượng
Sai số các hàm mômen, lực cắt, góc xoay và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác nhau và
phương pháp giải tích Véc tơ hệ số
cspline Véc tơ hệ số pspline Véc tơ hệ số lspline
M∆ 0.21% 0.85% 4.5% ∆ 0.21% 0.85% 4.5% Q ∆ 0.26% 1.2% 4.6% ϕ ∆ 0.28% 3.2% 5.4% V ∆ 0.5 % 4.1% 6.2%
Hình 10. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp giải tích và phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số lspline lập phương
(z)
2
y ql
Q = − +qz
(10)
Từ công thức (10) thấy rằng chuyển vị của thanh là 1 đường cong bậc 4, góc xoay của tiết diện được biểu thị bằng đường cong bậc 3, mômen uốn là đường cong bậc 2, lực cắt là đường bậc nhất. Điều này có nghĩa là khi giải bài toán này bằng phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn được chọn là hàm bậc nhất, hàm xấp xỉ mômen được chọn là hàm bậc 2, tương tự hàm góc xoay tiết diện là bậc 3, và để xấp xỉ hàm chuyển vị giữa các điểm chia cần phải dùng hàm bậc 4. Như vậy, giả thiết về sự phân bố bậc nhất của các hàm chuyển vị, góc xoay, mô men uốn và lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn của phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương đối lớn. Vì vậy, ta dùng các hàm nội suy như đã nêu trên để áp dụng vào bài toán.