Xét bán không gian đàn hồi ở trạng thái tự nhiên (không biến dạng) chiếm miền X2≥0 trong hệ tọa độ Đề-Các (0,X1,X2,X3) cố định với các véc tơ đơn vị dọc theo các trục tọa độ là i, j, k. Mật độ năng lượng biến dạng trên mỗi đơn vị thể tích là hàm W độ khối lượng là ρ. Đặt tải P1, P2, P3 theo hướng véc tơ đơn vị ở xa vô cùng vào bán không gian đàn hồi để làm cho nó bị biến dạng ở trạng thái tĩnh. Các độ giãn chính theo các hướng của các vec tơ đơn vị i, j, k lần lượt là λ1, λ2, λ3. Lúc này các hạt vật chất có tọa độ ban đầu (khi vật liệu ở trạng thái tự nhiên không biến dạng) X1,X2,X3 sẽ có tọa độ mới là x1 = λ1 X1, x2 = λ2 X2, x3 = λ3 X3.
Gradient biến dạng được cho bởi công thức [16]
1 2 3
= ⊗ + ⊗ + ⊗
F λi i λ j j λk k
Hàm thế năng biến dạng W(λ1, λ2, λ3) là một hàm đối xứng của λi tức là giá trị của nó không thay đổi khi hoán vị vòng quanh λ1, λ2, λ3.
3. Xấp xỉ tốt nhất của hàm x3 trong các không gian
L2[0,1] và C[0,1]
Để có thể thiết lập được công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh trong các phần tiếp theo, ta phải tìm hàm xấp xỉ tốt nhất của x3 trong các không gian L2[0,1] và C[0 ,1].
Về mặt toán học, trong trường hợp tổng quát, bài toán trên được phát biểu như sau:
Cho một không gian định chuẩn X và tập con của X là V. Cho trước hàm f € V, xác định một phần tử g € V sao cho
║f-g║≤║f-h║ với mọi hàm h € V .
Ở đây, ký hiệu ║f║ là chuẩn của f € V. Nếu bài toán trên tồn tại một nghiệm thì phần tử g tìm được được gọi là xấp xỉ tốt nhất của f trong V.
Các không gian thường được sử dụng trong thực hành là L2[0,1] và C[0,1], với L2[0,1] là không gian các hàm mà bình phương của hàm đó khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [0 1], và C[0 1] là không gian các hàm liên tục trên [0 1]. Đây là hai không gian định chuẩn, và chuẩn trong hai không gian này được định nghĩa như sau:
1/21 1 2 0 || ||= (x)dx , ∫ ϕ ϕ ϕ∈L2[0,1] [0,1] || || max | ( ) |,= ∈ ν ϕ ϕ ν ϕ∈C[0,1]
Đối với hai không gian này, bài toán tìm hàm xấp xỉ tốt nhất đã phát biểu ở trên luôn tồn tại một nghiệm.
Trong bài báo này, ta sử dụng hai xấp xỉ tốt nhất của x3
trong các không gian L2[0,1] và C[0,1] lần lượt là [24] 2 1( ) 1.5 0.6 0.05. p x = x − x+ (1) 2 2( ) 1.5 0.5625 0.03125. p x = x − x+ (2)
Hình 1: Biến dạng kéo nén (thể tích) của hình lập phương
Hình 2: Đường cong chính xác (đường gạch-gạch) và hai đường cong xấp xỉ (đường liền và đường gạch chấm) của vận tốc sóng Rayleigh trên δ3 Є[1,2]
Hình 3: Đường cong chính xác (đường gạch-gạch) và hai đường cong xấp xỉ (đường liền và đường gạch chấm) của vận tốc sóng Rayleigh trên đoạn a0[0.1 0.3].