Các tính chất cơ bản của 

11 x mm x ,

3.1.6 Các tính chất cơ bản của 

Mục này sẽ nhắc lại các tính chất quan trọng của * 

,

C V F , cần thiết cho

các tính toán sau này.

Mệnh đề 3.1.3([22, Section 2]). Khi dimF  k 0, C*-đại số C V F ,  có tính ổn định, tức là ta có đẳng cấu

 ,   , 

C V F  K C V F ,

ở đây, K là ký hiệu để chỉ C*-đại số các toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được.

Mệnh đề 3.1.4 ([22, Proposition 2.1.4]). Nếu phân lá V F,  , V F', ' cùng kiểu tôpô thì các C*-đại số Connes liên kết với chúng đẳng cấu nhau, tức là

   

* *

, ', '

Mệnh đề 3.1.5 ([7, Bổ đề I.1]). Giả sử

0 J i A  B 0

là một dãy khớp G-đẳng biến các C*-đại số. Khi đó dãy

0 J i A  B 0

của các tích xiên bởi G cũng khớp. Hơn nữa, nếu dãy đầu chẻ ra đẳng biến thì dãy thứ hai cũng chẻ ra.

Mệnh đề 3.1.6 ([22, Proposition 2.1.5]). Giả sử phân lá V F,  được cho bởi tác động  của nhóm Lie G lên trên đa tạp phân lá V sao cho đồ thị H  V G. Khi đó C V F( , )C V0( )ã G, ở đó tích xiên lấy theo tác động tự nhiên của G lên

 

0

C V cảm sinh từ tác động của G lên V.

Mệnh đề 3.1.7 ([22, Proposition 2.1.6]). Giả sử phân lá ( , )V F được cho bởi phân thớ (với thớ liên thông) p :V B. Khi đó ( , )V F không có holonomy và đồ

thị H ( , )x y  V V p x: ( )p y( ) là đa tạp con của V V , đặc biệt

0

( , ) ( )

C V F C B K.

Mệnh đề 3.1.8 ([22, Proposition 2.1.7]). Cho phân lá ( , )V F . Nếu V' là một đa tạp con mở của đa tạp phân lá V và

'

'

V

F F là hạn chế của F lên V' thì đồ thị

'

H của V F', ' là tập con mở của đồ thị H của ( , )V F . Hơn nữa phép bao lồng

1 1 2 2 ', , c c CH  CH        

    được mở rộng tới một *đồng cấu (bảo toàn chuẩn)

giữa các C*-đại số *  * 

: ', ' ,

Xét V ' là tập con mở bảo hòa của phân lá ( , )V F . Khi đó  ', '

V

C V F là một ideal của C V F , . Hơn nữa đồ thị H ' của  ', '

V

V F là một tập con mở trong H , khi đó H H\ ' đóng trong H .

Nói chung H H\ ' không phải là đồ thị của phân lá  \ ', \ '

V V

V V F . Tuy nhiên ta vẫn có thể xác định biểu diễn x x V V \ ' của đại số

 1 2\ ', \ ', c C H H  trong 2 1 2 \ ' , x x

L H H  . Bổ sung đầy đủ theo chuẩn tương tự

như trong phép xây dựng C V F( , ), ta thu được một C*-đại số, và ký hiệu là

 \ ', \ '

V V