Phỏng nhóm Holonomy của phân lá

11 x mm x ,

3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy của phân lá

Giả sử V F,  là một phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp H (không nhất thiết Hausdorff), có số chiều dimH dimVdimF mà được gọi là phỏng nhóm holonomy của phân lá đã cho. Phép xây dựng H được đưa ra bởi Winkelnkemper (xem [8, Mục 5]).

Một phần tử  của H được cho bởi hai điểm xs  , yr  trong V

và một lớp tương đương của các đường trơn ( ),t t[0,1], (0)x , (1) y tiếp xúc với phân thớ F (tức là '( )t F( )t , t [0,1], điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: 1 tương đương với 2 nếu  1

2 1

h 

là phép đồng nhất.

Trong H có phép nhân tự nhiên như sau: với  , 'H thì  ' có nghĩa khi s    r ' . Với phép toán này thì H là một phỏng nhóm, do đó H còn được gọi là phỏng nhóm holonomy hay đồ thị của phân lá V F, .

Cấu trúc đa tạp trên V cho ta một tôpô trên H mà tiền cơ sở của nó là các tập có dạng:           H x| s  U y, r  U', h pr x pr y'          , ở đó   '     1;1 , q ' ' 1;1 q dim U U q co F          là các bản đồ phân lá của V, và pr U:   1;1 , q pr U' : '  1;1q là các phép ngập lên tập hoành 1;1q. Họ các tập  như trên cũng xác định một atlat trên H, và do đó H trở thành một đa tạp khả vi dimVdimF-chiều. Khi đó các ánh xạ r s, từ H vào

V là các phép ngập, và ánh xạ ( , ) :s r H  V V là một phép dìm có ảnh là tập ( , )x y  V V x y: ,  L0 V F. Nói về tính Hausdorff của H, ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 3.1.1. Đồ thị H của phân lá V F là Hausdorff nếu và chỉ nếu: với , 

mọi cặp điểm  x y, thuộc cùng một lá L nào đó, và với mọi cặp đường trơn

1, 2

  trên L nối x với y, các ánh xạ holonomy

1 2

h , h  sẽ trùng nhau nếu chúng đồng nhất trên một tập con mở (của miền xác định) mà có bao đóng chứa x.