Không gian các nửa mật độ

11 x mm x ,

3.1.3 Không gian các nửa mật độ

 Cho ( , )V F là phân lá k - chiều định hướng được, với mỗi xV ta định nghĩa:  1 2  1 2 : : k : ( ) ( ), k , x Fx v v v F x               . Ở đây, k x F

 là không gian véctơ thực một chiều các kdạng tuyến tính đan dấu trên Fx (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì kFx có cơ sở

là  1 2 

... k

dx dx  dx ). Ta thấy ngay 1 2

x

 cùng với phép toán thông thường trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ  1 2

x x V



một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọi 1 2

(x )x V là phân thớ các nửa mật độ

trên V .

Với mỗi  H, giả sử s( ) x, r( )  y, ta đặt 1 2 1 2 1 2

x y



   , thì

1 2



 là không gian véctơ phức một chiều.

 Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H

Hausdorff. Cụ thể, ta đặt:

 1 2  1 2

, : : ( ) |

c

C H   f  H f   f trơn và supp compactf  là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H.

Vì V định hướng nên  k 

x x V F



 là phân thớ tầm thường trên V , do đó

 1 2

x x V



 cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá

 1 2

x x V

v V



    , tức là cố định một cơ sở cho mỗi 1 2

x

 , do đó cũng cố định

cơ sở cho mỗi 1 2

, H



   . Khi đó ta có thể đồng nhất hàm f Cc H (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàm

 1 2

.( ) c ,

f v sv r C H  theo cách như sau: Với  H,

f v s.( v r) ( )   f( ). v s( ) v r( ) , trong đó v s( ) v r( )  là một

cơ sở cố định qua v của 1 2, nên khi đó   1 2

( ). ( ) ( )

f  v s  v r   .

 Xét trường hợp H không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa CcH,1 2

như sau: Với mỗi bản đồ địa phương U, của đa tạp

H ta xét các hàm thực  n k

c

hC  , supph U , ta có h Cc U . Vì U

Hausdorff nên có thể đồng nhất h Cc( )U với  1 2

,

c

hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa Cc H là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các h  như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất Cc H với CcH,1 2

là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các  1 2

,

c

f C U  . Như vậy là ta đã định nghĩa được  1 2

,

c

C H  cho cả hai trường hợp

Hausdorff và không Hausdorff của H.  1 2

,

c

C H  là một không gian véctơ và

được gọi là không gian các nửa mật độtrơntrênH.