11 x mm x ,
3.1.3Không gian các nửa mật độ
Cho ( , )V F là phân lá k - chiều định hướng được, với mỗi xV ta định nghĩa: 1 2 1 2 : : k : ( ) ( ), k , x Fx v v v F x . Ở đây, k x F
là không gian véctơ thực một chiều các kdạng tuyến tính đan dấu trên Fx (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì kFx có cơ sở
là 1 2
... k
dx dx dx ). Ta thấy ngay 1 2
x
cùng với phép toán thông thường trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ 1 2
x x V
một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọi 1 2
(x )x V là phân thớ các nửa mật độ
trên V .
Với mỗi H, giả sử s( ) x, r( ) y, ta đặt 1 2 1 2 1 2
x y
, thì
1 2
là không gian véctơ phức một chiều.
Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H
Hausdorff. Cụ thể, ta đặt:
1 2 1 2
, : : ( ) |
c
C H f H f f trơn và supp compactf là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H.
Vì V định hướng nên k
x x V F
là phân thớ tầm thường trên V , do đó
1 2
x x V (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá
1 2
x x V
v V
, tức là cố định một cơ sở cho mỗi 1 2
x
, do đó cũng cố định
cơ sở cho mỗi 1 2
, H
. Khi đó ta có thể đồng nhất hàm f Cc H (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàm
1 2
.( ) c ,
f v sv r C H theo cách như sau: Với H,
f v s.( v r) ( ) f( ). v s( ) v r( ) , trong đó v s( ) v r( ) là một
cơ sở cố định qua v của 1 2, nên khi đó 1 2
( ). ( ) ( )
f v s v r .
Xét trường hợp H không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa CcH,1 2
như sau: Với mỗi bản đồ địa phương U, của đa tạp
H ta xét các hàm thực n k
c
hC , supph U , ta có h Cc U . Vì U
Hausdorff nên có thể đồng nhất h Cc( )U với 1 2
,
c
hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa Cc H là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các h như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất Cc H với CcH,1 2
là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các 1 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
,
c
f C U . Như vậy là ta đã định nghĩa được 1 2
,
c
C H cho cả hai trường hợp
Hausdorff và không Hausdorff của H. 1 2
,
c
C H là một không gian véctơ và
được gọi là không gian các nửa mật độtrơntrênH.