Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 5.1 Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoà
5.7.Khai triển Cramer và khai triển Laplace
Giả thiết (y1, y2, . . . , yn) là một cơ sở khác của V với ma trận chuyển cơ sởA= (aji):yi =ajixj. Khi đóy1 ∧. . .∧yncũng là một cơ sở củaVn(V)và do đó là cộng tuyến vớix1 ∧. . .∧xn. Cụ thể ta có
(5.7.1) y1∧. . .∧yn = detA x1∧. . .∧xn
Tương tự như vậy trong không gianVn−1
(V), các tích ngoài
lập thành một cơ sở. Ma trận chuyển tọa độ sang cơ sở này từ cơ sở x1∧. . .∧xbi∧. . .∧xn, 1≤i≤n chính là ma trận Aad = (Ai j) phụ hợp với ma trận A (Ai j là phần bù đại số của phần tửaji tức là định thức của ma trận nhận được từAbằng cách bỏ cột và hàng chứaaji - cột ivà hàngj):
y1∧. . .∧ybi∧. . .∧yn=Ajix1∧. . .∧xbj ∧. . .∧xn
Kết hợp với (5.7.1) ta thu được khai triển Cramer theo cột đầu tiên cho định thức củaA:
(−1)j+1aj1A1j = detA
Trong trường hợp tổng quát ma trận chuyển cơ sở từ (x∧I)
sang(y∧J)là ma trận(AIb b
J)với phần từ là các định thứcAJb b
I của ma trận con tạo thành từ các phần tử trên các cộti1, i2, . . . , ip và các hàngj1, j2, . . . , jp (hay nói cách khác, ma trận con tạo thành từA
bằng cách bỏ đi các cộtbi1, . . . ,bin−p và các hàngbj1, . . . ,bjn−p):
yI =AIb b
JxJ
Từ công thức ma trận chuyển tọa độ đối với tích ngoài
y1∧. . .∧yp∧yp+1∧. . .∧yn
ta thu được khai triển Laplace theo p cột đầu tiên cho định thức củaA: detA=X I sign (σI)AIb b I0AI0 I vớiI0 = (1,2, . . . , ip),I¯0 = (p+ 1, . . . , n).