Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 5.1 Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoà
5.4.Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số
Trong trường hợp đặc số của k khác 2, điều kiện thay phiên (5.3.1) tương đương với điều kiện phản đối xứng (5.3.2). Vì vậy ten xơ thay phiên thường được gọi là ten xơ phản đối xứng hoặc ten xơ ngoài. Ten xơ phản đối xứng có thể định nghĩa một cách đơn giản như tập các ten xơ trongV⊗p thỏa mãn
(5.4.1) σ(t) = sign (σ)t, ∀σ ∈Sp
Dễ thấy điều kiện trên có thể thay bằng điều kiện
σi(t) =−t, i= 1,2, . . . , p−1
Từ đó ta có ngay kết luận của Mệnh đề 5.3.2
t∈\
i
Ker(σi+id) =\
i
Im(σi−id)
Trong trường hợp đặc số của trườngkbằng 0, ta có một mô tả đơn giản sau cho các ten xơ phản đối xứng. Xét toán tử
Ψp := 1
p! X
σ∈Sn
Ta có τΨp = 1 p! X σ∈Sn sign (σ)τ σ = sign (τ)Ψp Từ đó với mọit∈V⊗p,Ψp(t)∈TVp (V). Nghĩa là ImΨp ⊂TVp (V)
Ta cũng cóΨp(t) = tnếutlà ten xơ đối xứng. Từ đó (5.4.2) ImΨp =Vp(V)
Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra
Ψp2 = Ψp
nghĩa làΨp là một toán tử lũy đẳng. Vậy ta đã chứng minh Mệnh đề sau.
MỆNH ĐỀ5.4.1.Toán tửΨplà một phép chiếu từV⊗plênTVp
(V).
Nhận xét rằng
Ψp(x⊗I) = 1
p!x∨I
nếu I = (i1, i2, . . . , ip) có các thành phần đôi một khác nhau. Ngược lại, nếu trongI có 2 thành phần bằng nhau thìΨp(x⊗I) = 0.
Tiếp theo ta xét ánh xạ hợp thành TVp
(V)−→V⊗p −→∧p Vp(V)
Hay nói cách khác là ánh xạ hạn chế của∧p lên T Sp(V). Dễ thấy ảnh của phần tửx∨I trongTVp
(V)là phần tử
xi1 ∧xi2 ∧. . .∧xip
Từ đó ta suy ra ánh xạ hợp thành trên là đẳng cấu. Vậy ta đã chứng minh được mệnh đề sau.
MỆNH ĐỀ5.4.2. Giả thiết trườngkcó đặc số bằng 0. Khi đó ánh xạ tự nhiên (5.4.3) TVp (V)−→V⊗p −→Vp (V) là một đẳng cấu.
Hệ quả hiển nhiên của đẳng cấu này là đẳng thức
(5.4.4) Jp(V) =KerΨp