Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 5.1 Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoà
5.3. Ten xơ thay phiên
Một ten xơt trong không gian này được gọi làthay phiênnếu với mọi bộ ánh xạ tuyến tính f1, f2, . . . , fp : V −→k, trong đó có hai ánh xạ nào đó bằng nhau ta có
(5.3.1) (f1⊗f2⊗. . .⊗fp)(t) = 0
Ví dụ trongV⊗2 các ten xơ dạngv⊗w−w⊗v là các ten xơ phản đối xứng. Tập hợp các ten xơ phản đối xứng trongV⊗p lập thành một không gian con, ký hiệu làTVp
(V).
NHẬN XÉT5.3.1. i) Tương tự như đối với lũy thừa ngoài, điều kiện (5.3.1) chỉ cần kiểm tra đối với các ánh xạ dạng
ii) Ten xơ thay phiên thỏa mãn điều kiệnphản đối xứng
(5.3.2) (. . . fi⊗fi+1⊗. . .)(t) =−(. . . fi+1⊗fi⊗. . .)(t)
iii) Nếu đặc số của trường khác 2, điều kiện (ii) tương đương với điều kiệnphản đối xứng. Tuy nhiên nếu trường có đặc số 2 các ten xơ dạng
v⊗v⊗. . .⊗v
thỏa mãn điều kiện phản đối xứng nhưng không là thay phiên.
MỆNH ĐỀ5.3.2. Ten xơt ∈V⊗p là thay phiên khi và chỉ khi
t∈\ i Im(σi−1) CHỨNG MINH. Nếut ∈T iIm(σi−1)thì ta có ngay (. . .⊗f ⊗f⊗. . .)(t) = 0
vậytlà thay phiên.
Mệnh đề ngược lại chứng minh khó hơn một chút. Trước tiên ta nhận xét rằng với mỗit ∈V⊗p tồn tại một không gian con hữu hạn chiềuU ⊂T sao chot∈U⊗p. Từ đó không mất tính tổng quát ta có thể giả thiếtV có hữu hạn chiều. Coi các phần tử củaV như các phiếm hàm tuyến tính trênV∗. Khi đót là thay phiên khi và chỉ khi phiếm hàm tuyến tính xác định bởi t trên V∗⊗p là ánh xạ tuyến tính thay phiên. Nghĩa làttriệt tiêu trên
Jp(V∗) = Ker(V∗⊗p −→Vp(V∗))
Ngược lại, nếu t ∈ V⊗p triệt tiêu trên Jp(V∗) thì t là ten xơ thay phiên. Vậy không gian các ten xơ thay phiên trongV⊗p là phần bù đại số trongV⊗p của không gianJp(V∗):
TVp
Từ công thức (5.5.2) và Mệnh đề 1.5.3 ta rút ra kết luận của mệnh đề: Jp(V∗)⊥= X i Ker(σi∗−id) !⊥ =\ i Ker(σ∗i−id)⊥ =\ i Im(σi−id)
Từ chứng minh của mệnh đề trên ta có hệ quả sau.
HỆ QUẢ 5.3.3. Giả thiết V có chiều hữu hạn. Khi đó ta có đẳng thức sau
TVp
(V)∼=Vp
(V∗)∗
Giả thiết(x1, x2, . . . , xn)là một cơ sở củaV. Khi đó tập
x∨I := X σ∈Sp sign (σ)xiσ(1) ⊗xiσ(2)⊗. . .⊗xiσ(p), i1 < i2 < . . . < ip, là một cơ sở củaTVp (V). Từ đó nếuV có chiều nthìTVp (V)có chiềuCp n.
CHỨNG MINH. Khẳng định đầu tiên được suy ra ngày từ chứng minh của Mệnh đề 5.3.2. Từ dãy khớp
0−→Jp(V∗)−→V∗⊗p −→Vp(V∗)−→0
ta có, theo định nghĩa Vp(V∗)∗ là phần bù đại số Jp(V∗)⊥ của
Jp(V∗), do đó đẳng cấu vớiTVp
(V).
Tiếp theo ta biết tập(ξ∧I :=ξi1∧ξi2∧. . .∧ξip, i1 < i2 < . . . < ip)
lập thành một cơ sở củaVp(V∗). Mặt khác ta có
ξ∧I(x∨J) = X
σ∈Sp
sign (σ)ξI(xjσ(1) ⊗xjσ(2)⊗. . .⊗xjσ(p)) = δIJ
với I, J là các dãy tăng bao gồm p số từ tập {1,2, . . . , n}. Từ đó tập(x∨I)lập thành một cơ sở củaTVp
ĐỊNH LÝ 5.3.4. Giả sử V là một không gian véc tơ với cơ sở
(xi)i∈I. Khi đó tập các ten xơ
x∨J := X
σ∈Sp
sign (σ)xjσ(1) ⊗xjσ(2) ⊗. . .⊗xjσ(p)
vớiJ = (j1 < j2 < . . . < jp)lập thành một cơ sở củaTVp
(V).
CHỨNG MINH. Giả sửtlà một ten xơ thay phiên trongV⊗p. Khi đó tồn tạiU ⊂V hữu hạn chiều sao chot∈U⊗p ⊂V⊗p. Vậy ta có thể giả thiếtV có hữu hạn chiều. Lúc đó khẳng định của định lý
suy ra từ hệ quả trên.