1 Ta quy ước “hầu hết” là tất cả chỉ trừ một số hữu hạn phần tử.
2.6. Liên hệ với hàm tử Hom
ChoV, W, U là các không gian véc tơ trênk. Giả thiếtf :V −→ L(W, U)là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy với mỗiv ∈V,f(v)là một ánh xạ tuyến tính từW tớiU. Khi đó ta định nghĩa
¯
f :V ⊗W −→U, f¯(v⊗w) =f(v)(w)
Dễ thấy ánh xạ ΦV,W,U : f 7−→ f¯là một ánh xạ tuyến tính. Dễ dàng kiểm traΦthỏa mãn tính chất sau đây.
a) Giả sử a : V −→ V0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có sơ đồ giao hoán sau:
L(V, L(W, U)) Φ // L(V ⊗W, U) L(V0, L(W, U)) Φ // a∗ OO L(V0⊗W, U) a∗ OO trong đó a∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thành vớia.
b) Giả sử b :W −→ W0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có sơ đồ giao hoán sau:
L(V, L(W, U)) Φ // b∗ L(V ⊗W, U) b∗ L(V, L(W0, U)) Φ // L(V ⊗W0, U) trong đó b∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thành vớib.
c) Giả sử c : U −→ U0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có sơ đồ giao hoán sau:
L(V, L(W, U)) Φ // b∗ L(V ⊗W, U) b∗ L(V, L(W, U0)) Φ // L(V ⊗W, U0) trong đó c∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thành vớic. Ta nóiΦlà một ánh xạ tự nhiên. ĐỊNH LÝ2.6.1. Ánh xạ (2.6.1) ΦV,W,U :L(V, L(W, U))=∼L(V ⊗W, U), f 7−→f¯ là một đẳng cấu.
CHỨNG MINH. Ta xây dựng ánh xạ ngược. Giả sửg :V⊗W −→ U là một ánh xạ tuyến tính. Xét ánh xạ
g :V −→L(W, U), g(v)(w) :=g(v⊗w)
Dễ dàng kiểm tra rằngg 7−→g là ánh xạ ngược củaΦ.
Trong đẳng cấu (2.6.1) nếu thay V = L(W, U) ta thu được đẳng cấu
L(L(W, U), L(W, U))∼=L(L(W, U)⊗V, U)
Dễ thấy rằng ảnh của ánh xạ đồng nhất ở vế trái chính là ánh xạ giá trị ev:L(W, U)⊗W, U ở vế phải.
Ký hiệuV∗ :=L(V,k), khi đó ta cũng có ánh xạ tự nhiên (2.6.2)
ĐỊNH LÝ2.6.2. Giả thiếtW là một không gian véc tơ khác 0. Khi đó ánh xạ
Ψ :W ⊗V∗ −→L(V, W)
xây dựng ở trên là một đơn ánh, tuy nhiên nó là đẳng cấu khi khi
V hoặcW có chiều hữu hạn.
CHỨNG MINH. Trước hết ta chứng minh Ψ là đơn cấu. Giả sử
x∈KerΨ,x=P
iwi⊗ϕi, vớiwi độc lập tuyến tính. Vậy
Ψ(X
i
wi ⊗ϕi) = 0
Nghĩa là với mọiv ∈V,
X i e ϕwi(v) =X i ϕi(v)wi = 0
Vìwi độc lập tuyến tính ta cóϕi(v) = 0với mọiv. Vậy ϕi = 0với mọii. Từ đóx= 0. Nghĩa làΨlà đơn ánh.
Trường hợpV là hữu hạn chiều. Khi đó cố định một cơ sở hữu hạn (x1, x2, . . . , xn) trong V. Một ánh xạ tuyến tínhf : V −→ W
được xác định một cách duy nhất bởi các giá trị wi =f(xi)trong
W. Với(ξi)là cơ sở đối ngẫu của(x)ở trongV ta có theo 1.5
f = Ψ(wi⊗ξi)
Trường hợpW là hữu hạn chiều. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều củaW. Trường hợp dimW = 1khẳng định là hiển nhiên. Trong trường hợp tổng quát biểu diễn W dưới dạng tổng trực tiếp của hai không gian con khác 0. Vì Ψ tương tích với các ánh xạ cấu trúc của một tổng trực tiếp, ta có điều phải chứng
HỆ QUẢ2.6.3. Giả thiếtW là không gian véc tơ hữu hạn chiều,
khi đó với mọiV vàU ta có đẳng cấu chính tắc:
(2.6.3) L(V ⊗W, U)∼=L(V, U ⊗W∗
)
Mặt khác, giả thiếtV có hữu hạn chiều. Khi đó (2.6.4) E(V) = L(V, V)∼=V ⊗V∗
Trong đẳng thức (2.6.4), ảnh của ánh xạ đồng nhất củaV là một ten xơ trongV ⊗V∗, thường gọi là phần tử Casimir. Cố định một cơ sở(x)trongV vàξlà cơ sở đỗi ngẫu trong V∗. Khi đó phần tử Casimir là
xi⊗ξi
Nhận xét rằng phần tử này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.