Nhóm đối xứng 3.1 Nhóm đối xứng
3.3. Đại số nhóm k[Sn ]
Một tác động của nhóm Glên một không gian véc tơ V được gọi là tuyến tính nếu tác động của mọi phần tử củaGlênV là các ánh xạ tuyến tính. Trong giáo trình này ta sẽ quan tâm chủ yếu tới các tác động tuyến tính của nhóm Sn lên các không gian véc tơ. Ta định nghĩa một tác động của Sn lên lũy thừa ten xơ V⊗n như sau. Với mỗiσ ∈Sn, tác động của σ lênV⊗n là ánh xạ tuyến tính xác định bởi
(3.3.1) σ(v1⊗v2⊗. . .⊗vn) = vσ−1(1)⊗vσ−1(2)⊗. . .⊗vσ−1(n)
Việc chứng minh ánh xạ này tồn tại được thực hiện hoàn toàn tương tự như đối với ánh xạσ1,2 ở mục 2.3.
Ta sẽ kiểm tra (3.3.1) thỏa mãn tiên đề (3.3.2) (tiên đề (3.3.3) hiển nhiên được thỏa mãn). Thật vậy
τ(σ(v1⊗v2⊗. . .⊗vn)) = τ(vσ−1(1)⊗vσ−1(2)⊗. . .⊗vσ−1(n))
= vσ−1(τ−1(1))⊗vσ−1(τ−1(2))⊗. . .⊗vσ−1(τ−1(n))
= τ(v(τ σ)−1(1)⊗v(τ σ)−1(2)⊗. . .⊗v(τ σ)−1(n)
Việc nghiên cứu các tác động tuyến tính của một nhóm hữu hạn (còn gọi là các biểu diễn của nhóm đó) có thể được đưa về việc nghiên cứu tác động của đại số nhóm tương ứng mà ta sẽ định nghĩa dưới đây. Ưu thế của phương pháp này là ta có thể ứng dụng triệt để các kết quả của đại số tuyến tính.
Đối với mỗi nhóm hữu hạnG, ký hiệu k[G] là không gian véc tơ với cơ sở làG, một phần tử củak[G]là một tổng hình thức
X
g∈G
λgg
Trênk[G]có thể định nghĩa phép nhân như sau:
X g∈G λgg ! · X h∈G µhh ! = X g,h∈G λgµhgh = X k∈G X h∈G λhµh−1k ! k
Với phép nhân nàyk[G]là một đại số với đơn vị làe, phần tử đơn vị củaG.
ChoAlà một đại số trên trường k. Một mô đun trên Alà một không gian véc tơV trênkcùng ánh xạ tuyến tính
µ:A⊗V −→V, a⊗v 7−→a·v
thỏa mãn các tiên đề
(3.3.2) a·(b·x) = (ab)·x
(3.3.3) 1·x=x
Một mô đun conW của V là một không gian véc tơ con đóng với tác động củaA. Trong trường hợp đó, ta cũng có tác động cảm sinh củaAlên không gian thươngU =V /W.
Mệnh đề sau đây cho phép chúng ta đưa việc nghiên cứu các tác động tuyến tính của một nhóm về việc nghiên cứu các mô đun trên đại số nhóm tương ứng, chứng minh là hiển nhiên.
MỆNH ĐỀ3.3.1. Có một tương ứng 1-1 giữa các không gian véc
tơ trênk với một tác động tuyến tính của nhóm hữu hạn Gvà các
mô đun trênkđại sốk[G].
CHÚ Ý 3.3.2. Việc nghiên cứu chi tiết hơn tác động tuyến tính của một nhóm lên các không gian véc tơ (còn gọi là các biểu diễn tuyến tính của nhóm đó) không nằm trong mục đích của giáo trình này. Những độc giả quan tâm tới lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn có thể tham khảo trong [?, ?].