Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 5.1 Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoà
5.5.Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương
Nếu đặc số của trường khác 0 ánh xạ Ψp không định nghĩa được khiplớn hơn đặc số của trường. Vì vậy chúng ta xét ánh xạ
e
Ψp := X
σ∈Sn
sign (σ)σ
Theo Định lý 5.3.4,Ψp là toàn ánh từV⊗p tớiTVp
(V). Từ đó, theo Mệnh đề 5.3.2, ta có đẳng thức (5.5.1) ImΨep =\ i Im(σi−1) MỆNH ĐỀ5.5.1. Ta có đẳng thức sau (5.5.2) Jp =X i Ker(σi −1) = KerΨep Từ đó ánh xạΨep cảm sinh đẳng cấu (5.5.3) Vp(V)∼=TVp (V)
CHỨNG MINH. Không mất tính tổng quát (xem chứng minh của 5.3.2) ta có thể giả sử V là hữu hạn chiều trênk. Từ đó sử dụng
Mệnh đề 1.5.3 ta có KerΨep = (ImΨp∗)⊥ = \ i Im(σi∗−id) !⊥ = X i (Im(σi∗−id))⊥=X i Ker(σi−id)
Mặt khác theo trên ảnh củaΨp là TVp
(V)vậy ta có đẳng cấu chính tắc
Vp
(V) :=V⊗p/Jp −→ImΨep =TVp
(V)
Ánh xạ này được cho cụ thể bởix∧I 7−→x∨I.
CHÚ Ý 5.5.2. Ánh xạ ở (5.5.3) là ngược chiều so với ánh xạΨp
ở (5.4.3).
5.6. Đối ngẫu
Trong mục này chúng ta sẽ giả thiết không gian V có chiều hữu hạnn. Khi đóVp(V) = 0 với mọip > nvà với0≤p≤n
(5.6.1) dimVp(V) = dimVn−p(V) =Cnp
Giả thiết x1, . . . , xn là một cơ sở của V. Khi đó Vp(V) có cơ sở chính tắc bao gồm các phần tử
xi1 ∧xi2 ∧. . .∧xip, 1≤i1 < i2 < . . . < ip ≤n
Đặc biệtdimVn(V) = 1 và cơ sở củaVn(V)chỉ có 1 phần tử
x1∧x2∧. . .∧xn
Ta cố định đẳng cấuVn
(V)∼=kbiến phần tử duy nhất này của cơ sở vào 1 ∈ k. Phép nhân ngoài ∧p,n−p xác định một ánh xạ song tuyến tính
(5.6.2) (−,−)(x):Vp(V)×Vn−p
(V)∧−→p,n−p Vn
(chỉ số (x) dùng để chỉ rằng ánh xạ này phụ thuộc vào việc chọn cơ sở(x)).
Với mỗi bộ I = (i1, i2, . . . , ip) thỏa mãn 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤nký hiệu Iblà bộ(bi1,bi2, . . . ,bin−p)sao cho
bi1 <bi2 < . . . <bin−p vàI∪Ib={1,2, . . . , n} và đặt (5.6.3) σI := 1 2 . . . p p+ 1 . . . n i1 i2 . . . ip bi1 . . . bin−p ! Giả thiếtxi1 ∧xi2 ∧. . .∧xip, i1 < i2 < . . . < ip, là một phần tử trong cơ sở chính tắc củaVp(V). Khi đóxbi
1 ∧. . .∧xbin−p là một phần tử trong cơ sở chính tắc củaVn−p(V)và
∧p,n−p(xi1∧. . .∧xip, xj1 ∧. . .∧xjn−p) = sign (σI)x1∧x2∧. . .∧xn vậy
(xi1 ∧. . .∧xip, xj1 ∧. . .∧xjn−p)(x) = sign (σI)
Ngược lại dễ thấy nếu hai tập {i1, . . . , ip} và {j1, . . . , jn−p} giao nhau khác rỗng thì
(xi1 ∧. . .∧xip, xj1 ∧. . .∧xjn−p)(x)= 0
Từ đó suy ra ánh xạ song tuyến tính(−,−)(x) là không suy biến. Vậy ta đã chứng minh mệnh đề sau.
MỆNH ĐỀ5.6.1. Ánh xạ song tuyến tính(−,−)(x)xác định trong (5.6.2) là không suy biến và do đó xác định một đẳng cấu
(5.6.4) θ(x):Vp(V)∼=Vn−p
(V)∗
Ánh xạ θ(x) xây dựng ở mệnh đề trên phụ thuộc vào việc chon cơ sở (x). Để xây dựng một đẳng cấu không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở ta làm như sau. Ánh xạ song tuyến tính
∧p,n−p : Vp(V)×Vn−p
(V)−→ Vn
(V)xác định một ánh xạ tuyến tính
∧p,n−p :Vp(V)⊗Vn−p(V)−→Vn(V)
Theo (2.6.3), ánh xạ này tương ứng với một ánh xạ
(5.6.5) θ :Vp(V)−→Vn
(V)⊗Vn−p
(V)∗
Mỗi cơ sở (x) của V xác định một đẳng cấu Vn(V) tới k và qua đẳng cấu nàyθ chính làθ(x). Từ đó ta có
HỆ QUẢ5.6.2. Ánh xạθ xác định ở(5.6.5)là một đẳng cấu.
Mặt khác ta có một phép đối ngẫu tự nhiên giữa Vp(V) và
Vp
(V∗)xác định như sau. Xét ánh xạ song tuyến tính
Vp
(V∗)×Vp
(V)−→k cho bởi
(ϕ1∧ϕ2∧. . .∧ϕp, v1∧v2∧. . .∧vp)7−→det(ϕi(vj))
ở đây ϕi ∈ V∗, vj ∈ V. Từ tính chất của định thức dễ thấy ánh xạ này được xác định tốt. Mặt khác ta thấy nếu (ξi) là cơ sở đối ngẫu với cơ sở(xi)ở trongV∗ thì cơ sở(ξ∧I =ξi1∧. . .∧ξip)trong
Vp
(V∗)thỏa mãn
(5.6.6) (ξ∧I, x∧J) = δIJ
Từ đóVp(V∗)là không gian đối ngẫu của Vp(V)và cơ sở(ξ∧I)là đỗi ngẫu với cơ sở(x∧I).
HỆ QUẢ 5.6.3. Giả thiếtV là không gian hữu hạn chiều. Khi đó ta có đẳng cấu chính tắc
(5.6.7) θ¯:Vp(V)∼=Vn
Đẳng cấu trong hệ quả trên hiên nhiên không phụ thuộc vào cơ sở. Chúng ta sẽ mô tả tường minh đẳng cấu này theo cơ sở(xi)
trongV và cơ sở đối ngẫu(ξi)của nó trongV∗. Theo (2.6.3), ánh xạθ ở (5.6.5) được xác định bởi
θ(xi1 ∧. . .∧xip)(xj1 ∧. . .∧xjn−p) = sign (σI)δJb
Ix1∧. . .∧xn
Từ đó, theo (5.6.7) ta có
(5.6.8) θ¯(xi1 ∧. . .∧xip) =σIx1∧. . .∧xn⊗ξbi1 ∧. . .∧ξbin−p
NHẬN XÉT5.6.4. Đối với các lũy thừa đối xứng ta cũng có ánh xạ song tuyến tínhSp(V∗)×Sp(V)−→kxác định bởi
(ϕ1ϕ2. . . ϕp, v1v2. . . vp)7−→ X
σ∈Sn Y
i
ϕi(vσ(i))
Nếu đặc số của trường bằng 0, ánh xạ này là không suy biến, từ đó ta có đẳng cấu chính tắc giữaSp(V∗)vàSp(V)∗. Tuy nhiên nếu đặc số của trường khác 0, ánh xạ này có thể suy biến và ánh xạ cảm sinhSp(V)∗ −→Sp(V∗)có thể không là đẳng cấu, xem 4.4.1 và 4.5.1.