Những nguyên lý cơ bản của mô hình tham số, cũng như mô hình dựa trên hàm số, là trường hợp đặc biệt của một hàm đơn nhất được xác định qua miền thời gian. Trong khi các cách tiếp cận khác nhau trong lớp mô hình này ủng hộ sự lựa chọn riêng biệt của hàm, tất cả chúng đều có điểm chung là mô hình tham số được xác định thông qua tối thiểu hóa độ lệch bình phương giá trị lý thuyết từ giá quan sát.
Phương pháp Nelson và Siegel
Phương pháp được phát triển bởi Nelson và Siegel (1987) đã cố gắng ước lượng các mối quan hệ bằng cách điều chỉnh thời điểm t một hàm chiết khấu dữ liệu giá trái phiếu thông qua việc giả định một dạng hàm rõ ràng cho lãi suất kỳhạn tức thời.
ft,m= βt,0 + βt,1exp
, + βt,2exp
,
Trong phương trình trên, m biểu thị thời gian đáo hạn, t là chỉ số thời gian, βt,0 , βt,1, βt,2 và τt,1là các tham số được ước lượng. Đường cong lãi suất giao ngay hay zero-
coupon smcó thể được tạo ra từviệc hợp nhất đường cong lãi suất kì hạn
sm = β0 + β1 1 − − + β2 1 − exp − − exp − tương đương với
sm = β0 + (β1+ β2) 1 − exp − - β2exp −
Đối với thời gian đáo hạn dài, lãi suất giao ngay và kỳ hạn tiến đến tiệm cận với giá trị β0(giá trị dương). (β1+ β2) xác định giá trị bắt đầu của đường cong tại thời gian đáo hạn bằng 0; vì vậy β1 đại diện cho độ lệch từ đường tiệm cận β0. Ngoài ra, (β1 + β2) cũng phải nhận giá trị dương.
Phương pháp Svenssion
Để cải tiến sự linh hoạt và độ thích hợp của đường cong lãi suất, Svensson (1994) đã mở rộng mô hàm số của Nelson và Siegel bằng cách thêm vào một khoảng xa hơn cho phép 1 điểm “dốc” thứ hai. Bằng việc thêm hai tham số ước lượng β3và τ2 độ chính xác của giá được tăng lên. Đường cong lãi suất kỳhạn tức thời vì vậy trởthành:
fm= β0 + β1exp + β2 exp + β3 exp
Với β3và τ2có những đặc điểm tương tự với β2và τ1 đã thảo luậnởtrên. Một lần nữa, để thu được đường cong lãi suất giao ngay , đương cong lãi suất kỳhạn được hợp nhất sẽlà:
sm = β0 + β1 1 − − + β2 1 − exp − − exp − +
β3 1 − exp − − exp −
Đối với trái phiếu không trả lãiđịnh kỳ, lãi suất giao ngay có thể lấy được từ quan sát giá niêm yết. Đối với trái phiếu có trả lãi, thông thường chỉ có lợi suất đáo hạn hay lợi suất cuống phiếu được niêm yết. Lợi suất đến hạn chính là tỷ suất hoàn vốn nội bộ trên các dòng tiền của trái phiếu. Đó chính là lãi suất rk làm cho giá trị hiện tại của trái phiếu bằng với giá trái phiếu.
Pk = ∑ ( )
VớiPklà giá trái phiếu k có tổng cộng n dòng tiền CF tại các thời điểm ti( I =1, 2 ,.., n). Những dòng tiền này bao gồm các khoản trái tức đã thanh toán, và giá gốc khi đáo hạn, hay mệnh giá. Lợi suất đáo hạn trên trái phiếu trả lãi của các trái phiếu có thời gian đáo hạn giống nhau nhưng có trái tức thanh toán khác nhau thì không giống nhau. Đặc biệt, lợi suất đáo hạn của trái phiếu có trả lãi khác với lãi suất đáo hạnhay lãi suất giao ngay của trái phiếu không trả lãi định kỳ có cùng thời gian đáo hạn. Tuy nhiên, nếu đã biết cấu trúc dòng tiền của trái phiếu đang giao dịch trên thị trường, có khả năng ta sẽ nhận được lãi suất giao ngay ước lượng duy nhất, lợi suất đáohạn lý thuyết của trái phiếu trảlãi, nghĩa là lãi suất của trái phiếu được đòi hỏi để giao dịch tại giá trị danh nghĩa của nó. Dựa trên lãi suất giao ngay st,m, phương trình xác định giá có thể trình bày như sau : Pk = , + , + ….+ , + ,
Với C là trái tức, và V là giá gốc ban đầu. Lợi suất đáo hạn của trái phiếu trả lãi định kỳ do đó là trung bình của các lãi suất giao ngay với các kỳ hạn khác nhau
Để có được cấu trúc kỳ hạn của lãi suất, hệ số chiết khấu được ước lượng bằng cách áp dụng thủ tục tối ưu phi tuyến đối với dữ liệu quan sát từ các ngày giao dịch. Quan trọng hơn việc chọn lựa một phương pháp tối ưu chuyên biệt (ví dụ : hợp lý cực đại, bình phương nhỏ nhất, GMM…) là sự quyết định tối thiểu hóa hoặc (tổng bình phương) lợi suất, hoặc những sai số về giá. Nếu lợi suất là mối quan tâm hàng đầu trong lãi suất, tự nó tối thiểu độ lệch giữa lợi suất ước lượng và quan sát trên thực tế. Trong trường hợp này, quá trình ước lượng được tiến hành qua hai bước. Đầu tiên, hệ số chiết khấu dt,mđược sử dụng để tính toán giá ước lượng và sau đó lợi suất đáo hạn
ước lượng được tính toán bằng cách giải quyết phương trình dưới đây cho mỗi trái phiếu trả lãi định kỳk.
P = ∑ exp(−r ) + V exp(−r )
Ở cả hai bước trên, điểm bắt đầu từ giá trị được chọn trước cho tham số thích hợp và đi qua một tiến trình lặp lại cho đến khi đạt được sự hội tụ. Việc tính toán để tối thiểu
sai số về giádễ hơn sai sót về lợi suất, vì vậy chỉ cần đòi hỏi tìm cách giải quyết cho bước đầu tiên.
Nhưng tối thiểu hóa các sai số về giá có thể dẫn đến sai số lớn về lợi suất của các công cụ tài chính có liên quan đến các kỳ hạn ngắn. Xét cho cùng, lợi suất, giá cảvà kỳ hạn của trái phiếu có liên quan như thế nào, không ngạc nhiên khi thấy được vấn đề hiệp phương sai không đồng nhất này (phương sai của sai số trong một mô hình hồi quy không đồng nhất giữa các quan sát). Dẫn đến khái niệm vòngđời của trái phiếu, độ co giãn của giá với 1 cộng lợi suất. Một sự thay đổi trong lợi suất tương ứng với sự thay đổi nhỏ/lớn trong giá của trái phiếu với một kỳ hạn ngắn hay dài hay vòng đời. Giá thích hợp của mỗi trái phiếu, đưa ra một giá trị ngang bằng không kể vòng đời củanó, dẫn đến sự vượt quá giá trái phiếu dài hạn tại chi phí của giá ngắn hạn. Một cách xử lý hợp lý cho vấn đề này là lấy trọng số sai số về giá của mỗi trái phiếu bởi giá trị nhận được từ nghịch đảo vòngđời của nó.
Các hệ số khác cúng có thể đóng góp saisố lợi suất khá lớn ở các kỳ hạn ngắn của cấu trúc kỳ hạn. Ví dụ, khối lượng giao dịch của trái phiếu có thế giảm đáng kể khi tiệm cận với ngày đáo hạn của nó. Giá được niêm yết của trái phiếu có thể không phản ánh chính xác giá mà giao dịch diễn ra. Vì nhiều lý do, có lẽ thích hợp khi loại bỏ dữ liệu giá của các trái phiếu gần với ngày đáo hạn khi xây dựng cấu trúc kỳ hạn thích hợp.
2.1.3. Mô hình dựa trên nối trục (Spline-based)
Mô hình tốt hơn sẽ cho một dạng hàm số đơn qua chuỗi toàn bộ thời gian đáo hạn. Phương pháp Spline-based xây dựng đường cong lãi suất dựa vào một đa thức từng phần, hàm nối trục (spline), ở đó các đoạn riêng lẽ được thay thế tại điểm được gọi là điểm nút. Qua một đoạn gần hơn, hàm tiếp tục đưa vào có thể được làm xấp xỉ bằng cách chọn một đa thức tùy ý, tại đó mức độ phù hợp tăng lên với thứ tự của đa thức. Tuy nhiên, đa thức bậc cao cho thấy sự thiếu sót các đặc tính san bằng khá thường xuyên. Vấn đề này có thể tránh đượcbằng cách dựa vào đa thức từng phần mà nhờ đó đa thức bậc cao được tính xấp xỉ bởi dãy các đa thức bậc thấp.
Vì vậy, hàm spline nhìn chung được dựa trên đa thức bậc thấp (hầu hết là bậc hai hay bậc ba). Ví dụ, một nối trục bậc ba là một đa thức bậc ba từng phần giới hạn tại điểm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
nút để các cấp bậc của chúng và hai đạo hàm đầu tiên là xác định. Một tham số tương đương với mỗi điểm nút trong hàm nối trục.
Phương pháp nốitrục phẳng
Phương pháp này được phát triển bởi Fisher, Nychka, và Zervos (1995) cho thấy sự mở rộng của kỹ thuật nối trục bậc ba truyền thống. Trong trường hợp nối trục phẳng, số lượng tham số được ước lượng không được cố định trước. Thay vào đó, một tham số bắt đầu từ một mô hình mà trước tiên biểu hiện bằng tham số. Kế đến, một lượng lớn các điểm nút được xác định sau đó bằng cách tối thiểu hóa tỷ lệ mức độ phù hợp đo lường số lượng các tham số.
Có một chuỗi mở rộng của mô hình dựa trên nối trục mà sử dụng phương pháp san bằng được tiên phong bởi Fisher và những người khác. Khác biệt chínhgiữa các cách tiếp cận khác nhau chỉ là phạm vi và kiểu cách của tiêu chuẩn san bằng được áp dụng để đạt được một điểm cố định tốt hơn. Cách tiếp cận VRP (variable penalty roughness) gần đây được Ngân hàng Anh giới thiệu cho phép tham số thô thay đổi với kỳ hạn, do đó cho phép độ cong hơn của các kỳ hạn ngắn.
Tóm lại, phương pháp ước lượng phụ thuộc nhiều vào ý định sử dụng dữ liệu : giá không chêch lệch và định giá các công cụ phái sinh cũng như các công cụ thu nhập cố định đối với trích xuất thông tin cho các mục đích phân tích đầu tư và chính sách tiền tệ. Một trong những thuận lợi chính của kỹ thuật dựa trên nối trục hơn là dạng tham số (như phương pháp Svenssion) là thiết lập một dạng hàm đơn tốt hơn để miêu tả lãi suất giao ngay, chúng tạo ra một đường cong cho dữ liệu được làm từ nhiều đoạn ép buộc đường cong tổng thể liên tục và phẳng hơn
Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất, được định nghĩa như một hàm số diễn tả mối quan hệ giữa thời gian đáo hạn và lãi suất giao ngay của trái phiếu không trả lãi định kỳ, bao gồm một số điểm xác định. Trong nhiều trường hợp, lãi suất kỳ hạn quan trọng hơn lãi suất giao ngay, biểu hiện bằng đường cong lãi suất giao ngay hoặc ngược lại. Như vấn đề trước có thể thích hợp với thông tin về các bước thời gian tương lai mong đợi của lãi suất kỳ hạn. Tại mỗi điểm dọc trên miền thời gian đáo hạn tồn tại một số xác định các lãi suất kỳ hạn mà khác với cấu trúc phạm vi đầu tư của chúng. Lãi suất kỳ hạn tức thời tiêu biểu cho một trường hợp đặc biệt, trường hợp mà phạm vi đầu tư tiếp cận với 0.
Thông tin được công bố của cấu trúc kỳ hạn lãi suất thường bao gồm các lãi suất giao ngay được chọn tại các điểm rời rạc trên miền thời gian đáo hạn. Một các ngẫu nhiên, lãi suất giao ngay này được hoàn thiện bởi việc chọn lựa các lãi suất kỳ hạn đặc biệt.
Nhiều hạn chế có thể được giảm bớt nếu thông tin về cấu trúc kỳ hạn của lãi suất có thể đại diện cho một chuỗi các biểu thức số học mà lãi suất giao ngay và kỳ hạn có thể thu được từ đó. Có các cách tiếp cận chi tiết đơn giản như Nelson và Siegel, Svensson đã đề cập ở trên màở đó lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn tức thời được tính toán nhờ vào việc ước lượng các tham số (β vàτ).
Thông tin nhiều hơn có thể có ích trong việc giải thích đường cong như thống kê chất lượng của cách xây dựng, chi tiết các công cụ nợ được sử dụng trong ước lượng, và nếu có các nỗ lực ngăn cản như phần bù đặc biệt ví dụ phần bù thuế, làm biến dạng các kết quả ước lượng.
2.1.4. So sánh cấu trúc kỳ hạn lãi suất của các ngân hàng trung ương
Để ước lượng cấu trúc kỳ hạn lãi suất, hầu hết dữ liệu báo cáo của các ngân hàng trung ương đã chấp nhận cả mô hình Nelson and Siegel và mô hình mở rộng của Svenssion. Ngoại trừ Canada, Nhật Bản, Thụy Điển, Anh, Mỹ với các biến thể khác nhau của phương pháo nối trục phẳng.
Dữ liệu các trái phiếu chính phủ được sử dụng để ước lượng khi chúng không mang rủi ro không thanh toán. Một cách ngẫu nhiên, các ngân hàng trung ương bù đắp cho thông tin này bằng cách dựa vào lãi suất trên thị trường tiền tệ hay lãi suất hoán đổi. Rõ ràng, thị trường tài chính khác biệt đáng kể số về số chứng khoán hoạt động được giao dịch và thu nhập của chúng, sự khác nhau của các công cụ tài chính và các tổ chức đặc trưng. Những sự khác nhau này có thể làm tăng sự biến động của phần bù được đưa vào xem xét trong quá trìnhước lượng nhưng trên thực tế thì rất khó để làm được điều này.
Phần bù tạo ra bởi các quy định về thuế thường khó mà giải quyết được. Một cách có thể thử để loại bỏ phần bù thuế ra khỏi giá/lợi suất quan sát trước khi chúng được sử dụng để ước lượng. Cách khác nó có thể được ưa chuộng làm đơn giản các công cụ với giá/ lợi suất được biến đổi từ tập hợp dữ liệu. Trong trường hợp được mong đợi là biến dạng thuế chỉ có ảnh hưởng nhỏ đến kết quả ước lượng, cách tiếp cận tốt nhất là bỏ qua tất cả vấn đề này. Một cách ngẫu nhiên, các ngân hàng trung ương thích điều chỉnh cách tiếp cận ước lượng hơn thay vì điều chỉnh dữ liêụ để giải quyết vấn đề đặc biệt này1. (xem bảng 2.1).
Không phải tất cả các ngân hàng trung ương ước lượng cấu trúc kỳ hạn cho một miền thời gian đáo hạn đầy đủ mà các công cụ nợ có thể có. Đường cong lãi suất với kỳ hạn ngắn thường khó giải quyết hơn đường cong với kỳ hạn dài. Trong mô hình cấu trúc 1Xem phụ lục C
kỳ hạn ngắn, có sự khác biệt đáng kể giữa các cách tiếp cận bởi những người có thẩm quyền về tiền tệ. Về phương diện dữ liệu, mối quan hệ này hầu như là sự chọn lựa các loại công cụ ngắn hạn liên quan đến khả năng thích hợp nhất và kỳ hạn nhỏ nhất được chấp nhận trong ước lượng. Về phương diện mô hình, nó là một phần của cấu trúc kỳ hạn mà quyết định giữa hoặc mô hình một điểm của Nelson and Siegel hoặc mô hình hai điểm của Svenssion có thể có ảnh hưởng lớn nhất. Yêu cầu của kỳ hạn nhỏ nhất còn lại đối với trái phiếu bao gồm trong ước lượng ảnh hưởng đến sự phù hợp của đường cong kỳ hạn cực ngắn. Việc xem xét những khó khăn để đạt được sự phù hợp tốt đối với một phần của đường cong sẽ giúp giải thích tại sao một số ngân hàng trung ương đánh giá kỳ hạn ngắn đường cong của chúng ít đáng tin cậy hơn những cái khác. Nhìn chung, khoảng thời gian từ một đến 10 năm được sử dụng phổ biến nhất.