Giả sử n là kích thước của một tập hợp dân số p và là số lượng gen. Mỗi một yếu tố của không gian trạng thái Sn có thể được coi như một số nguyên được biểu diễn dưới dạng mã nhị phân. Khi phép ánh xạ là đẳng cấu, một yếu tố i∈Sn được coi như một mã nhị phân hoặc một số nguyên tùy theo yêu cầu. Gọiπk(i) là một phép chiếu lấy ra một đoạn
bit thứ k của dãy bit có độ dài , từ dãy bit nhị phân biểu diễn trạng thái i của không gian Sn, điều này có nghĩa là nếu i=(a1, a2,….,an) trong đó ak=(b1k, ….,bk) [15].
Xác suất thay đổi các gen trong một tập hợp dân cư được thực hiện bởi các toán tử của GA được xác định bằng một ma trận p, có thể được phân tích bằng phương pháp thông thường là một tích của các ma trận ngẫu nhiên p = C.M.S, trong đó C, M và S mô tả các biến đổi trung gian được thực hiện bởi lần lượt các toán tử giao hoán, đột biến và lựa chọn. Toán tử giao hoán được coi là một hàm ngẫu nhiên tổng hợp của miền Sn hay có nghĩa là một trạng thái của miền giá trị Sn được ánh xạ theo xác suất vào các trạng thái khác, cho nên C là một ma trận ngẫu nhiên. Tương tự như vậy đối với các toán tử đột biến, toán tử lựa chọn các ma trận biến đổi của chúng cũng là các ma trận ngẫu nhiên.
Bổ đề 3.3.2: Các ma trận biến đổi của thuật toán GA với xác suất đột biến pm∈[0,1], xác suất giao hoán pc∈[0, 1] và quá trình lựa chọn theo tỷ lệ là các ma trận gốc.
Hệ quả 3.3.1: Thuật toán biến đổi Gen cơ bản với các giá trị tham số như trong Bổ đề 3.3.2 là chuỗi Markov khả lặp, tức là tồn tại một phân bố giới hạn, duy nhất cho các trạng
thái của chuỗi có xác suất khác 0, biến đổi thành các trạng thái bất kỳ mà không phụ thuộc vào phân bố ban đầu.
Bổ đề 3.3.3: Trong một chuỗi Markov khả lặp, số lần biến đổi giữa trạng thái ban đầu i và trạng thái bất kỳ j, là một số giới hạn với trạng thái i, j bất kỳ.
Định lý 3.3.1: Giả sử rằng bài toán cực đại chỉ có duy nhất một giá trị tối ưu, thuật toán GA như đã mô tả trong Bổ đề 3.3.2 sẽ duy trì giải pháp tốt nhất tìm được qua các lần thực hiện mà không tham gia vào quá trình xử lý tiến hóa sau khi lựa chọn.
Như vậy cần phải có một cơ chế để sao lưu lại các giải pháp tốt ngay sau quá trình đánh giá bởi vì các giải pháp này sẽ mất đi sau khi tiến hành lựa chọn.
Định lý 3.3.2: Giả sử rằng bài toán cực đại chỉ có duy nhất một giá trị tối ưu thuật toán GA như đã mô tả trong Bổ đề 3.3.2 sẽ duy trì giải pháp tốt nhất tìm được qua các lần thực hiện mà không tham gia vào quá trình xử lý tiến hóa trước khi lựa chọn.
Như vậy Định lý 3.3.1 và Định lý 3.3.2 không bao hàm trường hợp quá trình lựa chọn tác động lên các phần tử tốt nhất sau mỗi lần chạy trước đó. Khi sử dụng phương pháp lựa chọn các phần tử tối ưu của các lần chạy trước, các cá thể tốt nhất không chỉ được duy trì mà còn tham gia vào để sinh ra các cá thể mới.