III I VV VI VII V I XX XI XII IVV VI VII V IXXX
e. Khả năng chịu tả
3.1 Xỏc định cỏc hàm phản ứng của cỏc dao động nền tức thời 1 Đặt bài toỏn
3.1.1 Đặt bài toỏn
Xột mụ hỡnh cú nhiều bậc tự do như trờn (hỡnh 3.1), mà ở đú bậc tự do về chuyển vị nỳt cú thể là tựy ý, ngoài khối lượng phõn bố trờn hệ tại cỏc điểm nỳt, trong trường hợp tổng quỏt, giả sử cũn gắn cỏc vật rắn tuyệt đối (khối lượng tập trung) mà bản thõn nú cú cả chuyển vị thẳng và chuyển vị quay (chuyển vị quay được đặc trưng bằng mụ men lực quỏn tớnh I).
Trong trường hợp tổng quỏt, chuyển động của nền cú phương bất kỳ trong khụng gian, cú cả chuyển động dịch thẳng và cả chuyển động xoay.
Ký hiệu {Xg( )t}là vộc tơ chứa cỏc thành phần chuyển vị của nền: gồm 6 phần tử trong khụng gian ba chiều, 3 phần tử trong khụng gian hai chiều (chuyển động trong mặt phẳng),
xA xB xoi xi Yi i i' i'' m , Ii i A xg B Hỡnh 3.1. Mụ hỡnh tớnh toỏn ( )
{X0 t }- là vộc tơ chứa cỏc thành phần chuyển vị của cỏc nỳt do dịch chuyển nền {Xg( )t } coi là giả tĩnh gõy ra, khi coi hệ là tuyệt đối cứng;
( )
{ }X t - là vộc tơ chứa cỏc chuyển vị tuyệt đối của cỏc nỳt của hệ do dịch chuyển của nền {Xg( )t} gõy ra;
( )
{ }Y t ={X( )t }−{X0( )t }- là vộc tơ chứa cỏc thành phần chuyển vị tương đối của cỏc nỳt của hệ - nú chớnh là chuyển vị của cỏc nỳt do biến dạng đàn hồi của hệ gõy ra khi nền dịch chuyển động {Xg( )t }. Cũng chớnh cỏc chuyển vị và biến dạng này sẽ sinh ra nội lực trong hệ và đõy là những đại lượng mà ta phải tớnh.
Khi nền chuyển động do động đất, trờn hệ khụng cú ngoại lực tỏc dụng nờn phương trỡnh vi phõn [PTVP] dao động của hệ hữu hạn bậc tự do cú dạng như sau [ xem động lực học cụng trỡnh]
[ ]{ }M X +[ ]C{ }X +[ ]K { } { }X = 0 (3.1) Trong đú: Trong đú:
[M]- là ma trận khối lượng; [K]- là ma trận cứng của hệ; [C]- là ma trận cản của hệ.
Việc thiết lập ma trận khối lượng và ma trận cứng khụng cú gỡ đặc biệt, riờng ma trận cản [C] là rất phực tạp và khụng thể xỏc định chớnh xỏc. Trong cỏc sỏch về động lực học cụng trỡnh cỏc tỏc giả đó đưa ra rất nhiều cỏch xỏc định ma trận cản này, song tất cả đều là gần đỳng. Ở đõy chỳng tụi sẽ trỡnh bày một số cỏch xỏc định ma trận cản khi cú xột tới cả sức cản bờn trong của vật liệu, khi đú theo Rayleigh ma trận cản tỷ lệ với ma trận khối lượng và ma trận cứng của kết cấu.
[ ] [ ] [ ]C =aM +bK (3.2)
Trong đú a, b là cỏc hằng số
Trường hợp hệ cú nhiều bậc tự do, hệ số cản của dạng dao động thứ i cú thể tớnh được như sau:
2 2 i i i b a ω ξ ω = + (3.3)
Trong đú: ωi – là tần số vũng ứng với trường hợp khụng cú lực cản. Trong thực tế cũng cú những trường hợp mà lực cản của vật liệu khụng phụ thuộc vào tần số, trường hợp này ta gọi là lực cản kết cấu. Dr.Gyorgyi sau khi nghiờn cứu cỏc ma trận cản được xỏc định trờn cơ sở nhiều lý thuyết khỏc nhau và một vài nghiờn cứu khỏc đó kiến nghị một mụ hỡnh Kelvin – Voight tương đương để tớnh cho cỏc hệ nhiều bậc tự do [15]. Theo mụ hỡnh này, ma trận cản chỉ liờn quan tới ma trận cứng của kết cấu như sau:
[ ]C [ ]K4 4 1 2 γ ω γ + = (3.4)
Trong đú: γ =πδ , cũn δ là dekremen logarit.
Việc sử dụng mụ hỡnh Kelvin – Voight tương đương cú nhiều cỏi lợi cơ bản là khụng cần lập ma trận cản trong quỏ trỡnh tớnh toỏn thực tế, bởi vỡ nú khụng hề ảnh hưởng tới cỏc dạng dao động của kết cấu (cũng cú nghĩa là khi
tớnh cỏc dạng dao động khụng cần kể tới lực cản). Cũn tần số riờng khi cú kể tới lực cản (ω’) lại cú thể xỏc định đơn giản từ tần số vũng khụng cản (ω) như sau: i i ω γ ω 4 1 1 2 ' + = (3.5)
Trở lại PTVP (3.1), ta thay vộc tơ { } { } { }X = X0 + Y và chỳ ý rằng { }X0 là vộc tơ chuyển vị tương ứng khi coi hệ rắn tuyệt đối nờn:
[ ]K { } { }X0 = 0[ ]C{ }X0 ={ }0 [ ]C{ }X0 ={ }0 Sau khi biến đổi ta cú PTVP sau:
[ ]{ }M Y +[ ]C{ }Y +[ ]K{ }Y =−[ ]M { }X0 (3.6)