Toán tử tuyến tính liên tục

§ 6 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

Định nghĩa 6.1. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng trường _K. Ánh xạ A : X −→ Y gọi là liên tục tại x₀ ∈ X nếu với mọi dãy

(x_n) ⊂ X mà x_n → x₀ thì Ax_n → Ax₀. A được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

Định lý 6.2. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và A là toán tử tuyến tính từ X vào Y . Khi đó các mệnh đề sau tương đương.

a) A liên tục trên X.

b) A liên tục tại điểm x₀ ∈ X. c) A liên tục tại 0.

d) Tồn tại một số M dương sao cho với mọi x ∈ X ta có kAxk ≤ Mkxk (nghĩa là A bị chặn).

Chứng minh. a) ⇒ b) hiển nhiên.

b) ⇒ c) Giả sử dãy x_n → 0. Khi đó, dãy x_n + x₀ → x₀. Theo b) ta có A(x_n +

x₀) → Ax0. Vì A tuyến tính nên Ax_n = A(x_n+x₀−x₀) = A(x_n+x₀)−A(x₀) →

0 = A(0). Vậy A liên tục tại 0.

c) ⇒ d) Từ giả thiết A liên tục tại 0 nên với ε = 1 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thoả mãn kxk < δ thì kAxk < 1. Nếu x 6= 0 ta đặt y = ^δ

2kxk^x thì k ^δx 2kxk^{k < δ, do đó kA(} δx 2kxk^{)k < 1. Vì vậy kAxk ≤} 2 δkxk. Nếu x = 0 thì kA(0)k ≤ M. Vậy A bị chặn. d) ⇒ a) Giả sử x_n → x. Khi đó kAx_n − Axk = kA(x_n − x)k ≤ Mkx_n − xk.

Vậy A liên tục tại x ∈ X. Vì x chọn bất kỳ nên A liên tục trên X.

Định nghĩa 6.3. Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào Y . Theo Định lý 6.2 luôn tồn tại số M > 0 sao cho kAxk ≤ Mkxk với mọi x ∈ X, nên ta có thể xác định chuẩn của A như sau

§6. Toán tử tuyến tính liên tục 29

gọi là chuẩn của toán tử.

Định lý 6.4. Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào Y . Khi đó

kAk = sup

x6=0

kAxk

kxk ^{= sup}_kxk≤1 ^{kAxk = sup}_kxk=1^{kAxk. (1.4)}

Chứng minh. Đặt a = sup

x6=0

kAxk

kxk ^{, b = sup}_kxk≤1^{kAxk và c = sup}_kxk=1^{kAxk. Theo trên} ta có ^kAxk

kxk ^{≤ a, do đó kAxk ≤ akxk với mọi x ∈ X. Từ định nghĩa của kAk ta} suy ra kAk ≤ a.

Với mọi x ∈ X khác 0 ta đặt u = ^x

kxk^{. Khi đó kuk = 1. Vì A tuyến tính nên} a = sup

x6=0

kAxk

kxk ^{= sup}x6=0

kA( ^x

kxk^{)k = sup}_kuk=1^{kAuk ≤} _kuk≤1^{sup kAuk.} Vậy

kAk ≤ a ≤ c ≤ b. (1.5)

Mặt khác, với mọi kxk ≤ 1, ta có kAxk ≤ kAkkxk ≤ kAk.

Suy ra

b = sup

kxk≤1

kAxk ≤ kAk. (1.6)

Từ (1.5) và (1.6) ta được (1.4).