Định nghĩa 4.1. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường
K. Khi đó L(X,K) tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là một không gian định chuẩn và nó được gọi là không gian liên hiệp của X. Kí hiệu X∗ = L(X,K)
Nhận xét:
1) Với mỗi phần tử x∗ ∈ X∗ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và có chuẩn là
kx∗k = sup
kxk=1
|x∗(x)|.
§4. Không gian liên hiệp 55
không gian Banach.
3) Với mỗi x ∈ X, ta có
kxk = sup
x∗∈X∗,kx∗k=1
|x∗(x)|.
Thật vậy, theo định nghĩa của chuẩn toán tử tuyến tính ta có |x∗(x)| ≤ kx∗kkxk. Suy ra sup
kx∗k=1
|x∗(x)| ≤ kxk với mọi x∗ ∈ X∗. Ngược lại, nếu x = 0 đẳng thức trên luôn đúng; nếu x 6= 0 thì theo Hệ quả của định lý Hahn-Banach tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho x∗(x) = kxk và kx∗k = 1. Vậy
kxk = |x∗(x)| ≤ sup
kx∗k=1
|x∗(x)|.
Định lý 4.2. Với mỗi f ∈ (Kn)∗ tồn tại phần tử a ∈ Kn sao cho
f(x) =
n X
k=1
akxk, ∀(x1, . . . , xn) ∈ Kn
Ngược lại, với mỗi a = (a1, . . . , an) ∈ Kn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên
tục fa trên Kn sao cho fa(x) = n X k=1 akxk, ∀(x1, . . . , xn) ∈ Kn và kfak = kak với kak = ( n X k=1 |ak|2)12 . Chứng minh. Đặt ek = (0, . . . ,0,1, 0, . . . ,0), k = 1, . . . , n. Khi đó,{e1, . . . , en} là một cơ sở của Kn. Với mỗi x ∈ Kn ta có
x = n X k=1 xkek. Vì f ∈ (Kn)∗ nên f(x) = Pnk=1 xkf(ek). Đặt ak = f(ek), k = 1, . . . , n, ta được a = (a1, . . . , an) ∈ Kn và f(x) = n X k=1 akxk.
§4. Không gian liên hiệp 57
Ngược lại, với mỗi a = (a1, . . . , an) ∈ Kn, ta đặt
fa(x) =
n X
k=1
akxk, ∀(x1, . . . , xn) ∈ Kn Khi đó fa tuyến tính, liên tục và
|fa(x)| ≤ ( n X k=1 |xk|2)12( n X k=1 |ak|2)12 = kakkxk. Suy ra kfak ≤ kak.
Nếu a = 0 ta chọn f = 0, nếu a 6= 0 ta chọn x0 = (y1, . . . , yn) với yk = ak
kak. Khi đó, kx0k = 1 và fa(x0) = n X k=1 akak kak = kak ≤ kfak. Vậy kfak = kak.
Định nghĩa 4.3. (Không gian liên hiệp thứ 2) ChoX là một không gian định chuẩn. Khi đó ta có X∗ là không gian liên hiệp của X. Ta gọi không gian liên hiệp
của không gian X∗ là không gian liên hiệp thứ 2 của không gian định chuẩn X. Kí hiệu X∗∗.
Nhận xét : Ta nhận thấy mối liên hệ giữa không gian X và không gian X∗ không được rõ ràng. Tuy nhiên giữa không gian X và không gian X∗∗ có mối quan hệ khá rõ ràng. Điều này thể hiện qua định lý sau.
Định lý 4.4. Cho X là một không gian định chuẩn. Khi đó tồn tại một đơn ánh tuyến tính ϕ từ X vào X∗∗ sao cho kϕ(x)k = kxk, với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X ta xét ánh xạ x˜ xác định trên X∗ như sau: ˜(x∗) =
x∗(x),∀x∗ ∈ X∗.
Khi đó, x˜ tuyến tính. Thật vậy, với mọi x∗, y∗ ∈ X∗, α, β ∈ K ta có
˜(αx∗
+ βy∗) = (αx∗ + βy∗)(x) = αx∗(x) + βy∗(x) = αx˜(x∗) + βx˜(y∗).
Hơn nữa, ta có sup x∗,kx∗k=1 |x˜(x∗)| = sup x∗,kx∗k=1 |x∗(x)| = kxk.
Suy ra x˜ liên tục và có chuẩn kxk˜ = kxk. Điều này chứng tỏ có một đơn ánh tuyến tính ϕ : X → X∗∗ và bảo toàn chuẩn.