Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng một trường K. Kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Dễ dàng kiểm tra L(X, Y ) là một không gian tuyến tính với hai phép toán: cộng hai ánh xạ và nhân ánh xạ với vô hướng. Định lý sau sẽ chứng tỏ L(X, Y ) là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lý 7.1. L(X, Y ) là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định bởi (1.3). Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là một không gian Banach.
§7. Không gian các toán tử tuyến tính liên tục 31
Chứng minh. Với mỗi A ∈ L(X, Y ) theo (1.3) ta có kAk ≥ 0; giả sử kAk = 0, khi đó kAxk ≤ kAkkxk = 0 với mọi x ∈ X. Vậy Ax = 0 với mọi x ∈ X, nghĩa là A = 0. Giả sử A, B ∈ L(X, Y ) và α ∈ K, ta có kαAk = sup kxk=1 kαAxk = |αk sup kxk=1 kAxk = |αkkAk. kA + Bk = sup kxk=1 k(A + B)xk ≤ sup kxk=1 kAxk + sup kxk=1 kBxk = kAk + kBk.
Vậy L(X, Y ) là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Giả sử {An} là dãy cơ bản trong L(X, Y ). Với mỗi x ∈ X cố định ta có
kAnx − Amxk = k(An − Am)xk ≤ kAn − Amkkxk (1.7) Vì {An} là dãy cơ bản nên khi n, m → ∞ vế phải của (1.7) dần về không. Do đó dãy {An(x)} là dãy cơ bản trong Y . Theo giả thiết Y Banach nên {An(x)} là dãy hội tụ trong Y . Đặt Ax = limn→∞ Anx với mỗi x ∈ X. Khi đó A xác định một ánh xạ từ X vào Y và dễ dàng kiểm tra được A là tuyến tính.
Hơn nữa, A là giới nội vì {An} là dãy cơ bản trong L(X, Y ). Khi đó tồn tại một
số M > 0 sao cho kAnk ≤ M với mọi n ∈ N. Vì vậy với mọi x ∈ X ta có kAxk = lim
n→∞ kAnxk ≤ Mkxk.
Vì {An} là dãy cơ bản nên với mỗi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có kAm − Ank < ε.