Một số tính chất cơ bản

Định lý 2.1. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó h , i : H × H −→ _C,

§2. Một số tính chất cơ bản 95

là một hàm liên tục.

Chứng minh. Cho (x_n),(y_n) là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần lượt hội tụ về x₀ và y0. Khi đó, ta có

|hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| ≤ |hx_n, y_ni − hx_n, y₀i| + |hx_n, y₀i − hx₀, y₀i|

= |hx_n, y_n − y₀i| + |hx_n − x₀, y₀i| ≤ kx_nkky_n − y₀k + kx_n − x₀kky₀k.

Theo giả thiết (x_n) hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho kx_nk ≤ M với mọi n ∈ _N. Vì vậy, ta có

|hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| ≤ Mky_n − y₀k + kx_n − x₀kky₀k.

Chuyển qua giới hạn ta được

lim

n→∞ |hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| = 0.

Định lý 2.2. (Đẳng thức hình bình hành) Với mọi x, y trong một không gian tiền Hilbert H ta có

kx + yk² + kx − yk² = 2(kxk² + kyk²).

Chứng minh. Với x, y ∈ H, ta có

kx + yk² = hx + y, x + yi = kxk² + hy, xi + hx, yi + kyk² kx − yk² = hx − y, x − yi = kxk² − hy, xi − hx, yi + kyk².

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành.

Định lý 2.3. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn) Cho (X,k k) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường _K. Giả sử với mọi x, y thuộc X thoả mãn

kx + yk² + kx − yk² = 2(kxk² + kyk²). (4.1) Khi đó trên X có một tích vô hướng sao cho hx, xi = kxk².

Chứng minh. Trước hết, ta xét X là một không gian tuyến tính thực. Đặt

hx, yi = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk²]. (4.2) Từ (4.2) ta có

i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ X.

§2. Một số tính chất cơ bản 97

iii) Theo (4.1) và (4.2) ta có thể viết hx, yi dưới dạng hx, yi = ¹ 2^[kx + yk² − kxk² − kyk²] (4.3) hay hx, yi = ¹ 2^[kxk² + kyk² − kx − yk²]. (4.4) Từ (4.3) và (4.4) ta có hx + y, zi = ¹ 4^[kx + y + zk² − kx + y − zk²] = ¹ 4^[kx + y + zk² + kx − y + zk² − kx − y + zk² − kx + y − zk²] = ¹ 2^[kx + zk² + kyk² − kxk² − ky − zk²] + ¹ 2^[kyk² + kzk² − ky − zk²] = hx, zi + hy, zi.

iv) Bây giờ ta chứng minh hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ _K. Trước hết với mỗi x, y ∈ X cố định, ta xét hàm g(λ) = kλx + yk. Khi đó, ta có

|g(λ) − g(λ⁰)| = |kλx + yk − kλ⁰x + yk| ≤ k(λ − λ⁰)xk = |λ − λ⁰|kxk.

nên g là một hàm của biến thực liên tục. Vì vậy, ta suy ra hàm

f(λ) = hλx, yi = ¹

4^[kλx + yk² − kλx − yk²]

liên tục theo biến thực λ.

Theo một tính chất đã biết f cộng tính (theo chứng minh iii)) và liên tục nên f là hàm tuyến tính, nghĩa là f(λ) có dạng f(λ) = Cλ trong đó C là một hằng số. Hơn nữa theo định nghĩa của f ta có f(1) = C = hx, yi. Vậy f(λ) = hx, yiλ, hay hλx, yi = λhx, yi.

Với X là không gian tuyến tính phức. Đặt hx, yi = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² + ikx + iyk² − ikx − iyk²]. (4.5) Từ (4.5) ta có

§2. Một số tính chất cơ bản 99

ii) Với mọi x, y ∈ X ta có hy, xi = ¹

4^[ky + xk² − ky − xk² + iky + k² − iky − k²] = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² + iki(x − iy)k² − ik − i(x + iy)k²] = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² − ikx + iyk² + ikx − iyk²] = hx, yi.

iii) Chứng minh tương tự như trong trường hợp thực.

iv) Với x, y ∈ X cố định ta xét hàm f(λ) = (λx, y) tương tự trên ta chứng minh f là hàm biến phức cộng tính liên tục nên f có dạng f(λ) = Cλ hoặc f(λ) = Cλ, trong đó C là hằng số và C = hx, yi. Vì vậy ta suy ra

hλx, yi = λhx, yi, với mọi λ ∈ _C,

hoặc

hλx, yi = λhx, yi, với mọi λ ∈ _C.

Mặt khác theo (4.5) ta có hix, yi = ihx, yi, nên chỉ xảy ra hλx, yi = λhx, yi, với mọi λ ∈ _C.

Vậy trên X có một tích vô hướng và hx, xi = kxk².

Định lý 2.4. Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H. Khi đó với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ M sao cho kx−yk =

d(x, M).

Chứng minh. Nếu x ∈ M thì ta chọn y = x. Nếu x /∈ M, khi đó vì M đóng nên d = d(x, M) > 0 và tồn tại một dãy (y_n) trong M sao cho lim kx−y_nk = d. Ta chứng minh (y_n) là dãy Cauchy. Thật vậy, theo đẳng thức hình bình hành ta có ky_n − y_mk² = k(x − y_n) − (x − y_m)k² = 2kx − y_nk² + 2kx − y_mk² − k2x − (y_n + y_m)k² = 2kx − y_nk² + 2kx − y_mk² − 4kx − ^{yn + ym} 2 k² ≤ 2kx − y_nk² + 2kx − y_mk² − 4d² (vì M lồi nên ^yn+y_m 2 ∈ M). Cho m, n → ∞ từ bất đẳng thức trên ta có lim m,n→∞ky_n − y_mk = 0.