Xấp xỉ bởi lớp hàm liên tục Tính khả ly

§ 3 XẤP XỈ BỞI LỚP HÀM LIÊN TỤC. TÍNH KHẢ LY

Định nghĩa 3.1. (Hàm đơn giản) Giả sử (X,B, µ) là một không gian độ đo. Hàm phức s xác định trên X được gọi là hàm đơn giản đo được nếu nó là một hàm đo được trên X và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị khác nhau.

Giả sử s lấy các giá trị c₁, c₂, . . . , c_n. Khi đó s được biểu diễn dưới dạng

s =

n X

k=1

c_kχ_Ak,

trong đó χ_Ak là các hàm đặc trưng của các tập hợp

A_k = {x ∈ X : s(x) = c_k}, k = 1,2, . . . , n.

Mệnh đề Cho s là hàm đơn giản đo được trên X. s khả tích trên X khi và chỉ khi độ đo của tập hợp {x ∈ X : s(x) 6= 0} là hữu hạn.

Định lý 3.2. Tập hợp S gồm tất cả các hàm đơn giản khả tích trên X là trù mật trong L^p(X, µ), với 1 ≤ p < ∞.

Chứng minh. Hiển nhiên S ⊂ L^p(X, µ), với 1 ≤ p < ∞.

Giả sử f ∈ L^p(X, µ). Ta đã biết một hàm phức đo được luôn biểu diễn dưới dạng f = f₁ − f₂ + i(f₃ − f₄) trong đó f_k, k = 1,2,3,4 là các hàm thực không âm đo được trên X. Vì vậy ta chỉ cần xét hàm f ≥ 0 đo được trên X. Theo cấu trúc của hàm đo được khi đó tồn tại một dãy hàm {s_n} đơn giản, đo được, không âm, đơn điệu tăng sao cho

lim

n→∞s_n(x) = f(x), ∀x ∈ X.

Vì 0 ≤ s_n(x) ≤ f(x),∀x ∈ X nên s_n ∈ L^p(X, µ) với mọi n ∈ _N. Ta có (f(x) − s_n(x))^p ≤ (f(x))^p và

lim

n→∞(f(x) − s_n(x))^p = 0

Theo giả thiết f ∈ L^p(X, µ) nên f^p ∈ L¹(X, µ). Áp dụng định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn ta được

lim

n→∞kf − s_nk_p = 0.

§3. Xấp xỉ bởi lớp hàm liên tục. Tính khả ly 77

s_k saocho kf_k − s_kk_p < ₄^ε. Đặt s = s₁ − s₂ + i(s₃ − s₄) ta được

kf − sk_p = k(f₁ − s₁) − (f₂ − s₂) + i[(f₃ − s₃) − (f₄ − s₄)]k_p < ε.

Vậy định lý được chứng minh.

Định lý 3.3. Tập hợp các hàm liên tục trên G ⊂ _Rn có giá compact (được ký hiệu C₀(G) ) trù mật khắp nơi trong L^p(G), 1 ≤ p < ∞.

Chứng minh. Theo Định lý 3.2, tập hợp các hàm đơn giản khả tích trù mật trong L^p(G). Vì vậy với mỗi f ∈ L^p(G) và mỗi ε > 0 tồn tại một hàm đơn giản s sao cho kf −sk_p ≤ ^ε₂. Do đó ta chỉ cần chứng minh với s là hàm đơn giản tồn tại hàm g ∈ C₀(G) sao cho kg − sk_p ≤ ^ε

2 là đủ. Vì s là hàm đơn giản khả tích nên giá của s hữu hạn. Ta có thể giả thiết s(x) = 0 với mọi x ∈ G^C. Theo định lý Lusin tồn tại hàm g ∈ C₀(G) sao cho

|g(x)| ≤ sup x∈_Rn |s(x)|, ∀x ∈ G và µ({x ∈ G : s(x) 6= g(x)}) < ( ^ε 4 sup_x|s(x)|⁾ p.

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được Z G |s(x) − g(x)|^pdµ ≤ ( Z G |s(x) − g(x)|^qdµ) p q( Z G 1dµ)¹⁻ p q, (1 ≤ p < q ≤ ∞). Suy ra ks − gk_p ≤ ks − gk_∞(µ({x ∈ G : s(x) 6= g(x)}))¹p < 2ksk_∞( ^ε 4ksk_∞^{) =} ε 2^. Vậy kf − gk_p ≤ kf − sk_p + ks − gk_p < ε.

Định lý 3.4. Cho G ⊂ _Rn và 1 ≤ p < ∞. Khi đó, không gian L^p(G) là không gian khả ly.

Chứng minh. Với mỗi m ∈ _N ta đặt

G_m = {x ∈ G : d(x, ∂G) ≥ ¹

m}.

Khi đó, G_m là tập compact. Gọi P là tập hợp tất cả các đa thức trên _Rⁿ có hệ số phức hữu tỷ. Đặt

§3. Xấp xỉ bởi lớp hàm liên tục. Tính khả ly 79

Theo định lý Weierstrass P_m trù mật trong C(G_m). Khi đó, tập hợp ∞

[

m=1

P_m là tập đếm được.

Mặt khác, với mỗi f ∈ L^p(G) và với mỗi ε > 0 tồn tại g ∈ C₀(G) sao cho kf − gk_p < ^ε₂.

Nếu _m¹ < d(suppg, ∂G) thì tồn tại h ∈ P_m sao cho kg − hk_∞ < ^ε 2^(µ(Gm)) −¹_p . Suy ra kg − hk_p ≤ kg − hk_∞(µ(G_m))¹p < ^ε 2^. Vậy kf − hk < ε. Vì ∞ [ m=1

P_m là tập đếm được nên L^p(G) khả ly.

§ 4 KHÔNG GIAN LIÊN HIỆP

Định nghĩa 4.1. Cho G ⊂ _Rⁿ và 1 ≤ p ≤ ∞. Kí hiệu (L^p(G))^∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L^p(G) và được gọi là không gian liên hợp của không gian L^p(G). Định lý sau nói lên mối quan hệ giữa không gian (L^p(G))^∗

và không gian L^q(G), với q là số mũ liên hiệp của p.

Định lý 4.2. Cho G ⊂ _Rn và 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó với mỗi g ∈ L^q(G), ¹_q + _p¹ = 1

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L^p(G) xác định bởi f_g(f) =

Z

G

f(x)g(x)dµ, f ∈ L^p(G) (3.9) và kf_gk = kgk_q.

Chứng minh. Theo tính chất của tích phân, phiếm hàm f_g là tuyến tính trên L^p(G). Hơn nữa, theo bất đẳng thức Holder ta có

|f_g(f)| ≤ Z

G

|f(x)g(x)|dµ ≤ kfk_pkgk_q.

Suy ra f_g bị chặn. Vậy f_g liên tục và ta có

§4. Không gian liên hiệp 81

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ngược lại. Giả sử kgk_q 6= 0. Nếu p > 1 thì ta đặt f₀(x) = ( |g(x)|^q−2g(x) nếu g(x) 6= 0 0 nếu g(x) = 0, Khi đó ta được Z G |f₀(x)|^pdµ = Z G |g(x)|^(q−1)pdµ = Z G |g(x)|^qdµ = kgk^q_q. Suy ra f₀ ∈ L^p(G). Mặt khác, ta có f_g(f₀) = Z G f₀(x)g(x)dµ = Z G |g(x)|^qdµ ≤ kf_gkkf₀k_p.

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra Z G |g(x)|^qdµ ≤ kf_gk( Z G |g(x)|^qdµ)¹p.

Chia hai vế cho (^R_G |g(x)|qdµ)¹p ta được

kgk_q ≤ kf_gk. (3.11)

Từ (3.10) và (3.11) ta suy ra kf_gk = kgk_q.

Nếu p = 1 thì q = ∞. Với 0 < ε < kgk_∞. Khi đó tồn tại tập A ⊂ G đo được sao cho µ(A) > 0 và |g(x)| > kgk_∞ − ε, với mọi x ∈ A. Đặt

f₀(x) = (

|g(x)|⁻¹g(x) nếu x ∈ A

0 nếu x /∈ A. Suy ra f₀ ∈ L¹(G).

§4. Không gian liên hiệp 83 Mặt khác, ta có f_g(f₀) = Z G f₀(x)g(x)dµ = Z G |g(x)|dµ ≥ Z G (kgk_∞ − ε)dµ = kf₀k₁(kgk_∞ − ε). Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kgk_∞ − ε ≤ kf_gk. (3.12) Từ (3.10) và (3.12) ta suy ra kf_gk = kgk_∞.

Định lý 4.3. Giả sử f^∗ ∈ (L^p(G))^∗, 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó tồn tại hàm g ∈ L^q(G), ¹ q + ¹ p = 1 sao cho f^∗(f) = Z G f(x)g(x)dµ, ∀f ∈ L^p(G) Trương Văn Thương

Chứng minh. Giả sử µ(G) < ∞. Với E ⊂ G đo được, ta biểu diễn E =

∞

[

k=1 E_k với E_k là các tập đo được phân biệt đôi một. Khi đó dãy hàm

k X

i=1

χ_Ei(x), k = 1,2, . . .

là dãy hàm đo được không âm đơn điệu tăng hội tụ về χ_E(x). Theo Định lý 1.8 dãy {Pk

i=1 χ_Ei} hội tụ về hàm χ_E trong L^p(G) và

f^∗(χ_E) = lim k→∞ f^∗( k X i=1 χ_Ei) = ∞ X k=1 f^∗(χ_Ek). Ta đặt λ(E) = f^∗(χ_E), trong đó E ⊂ G. Khi đó, λ là hàm tập và σ-cộng tính xác định trên σ-đại số B các tập con đo được của G. Rõ ràng nếu E ⊂ G đo được và µ(E) = 0 thì λ(E) = 0. Vậy λ là hàm tập σ-cộng tính và liên tục tuyệt đối đối với µ. Theo Định lý Radon-Nikodym tồn tại hàm g đo được khả tích trên G sao cho

λ(E) =

Z

E

§4. Không gian liên hiệp 85

g được xác định duy nhất trên G. Suy ra

f^∗(χ_E) = Z G χ_E(x)g(x)dµ, ∀E ∈ B. Từ tính tuyến tính của f^∗ ta có f^∗(s) = Z G s(x)g(x)dµ,

trong đó s là hàm đơn giản khả tích, và vì vậy cũng đúng cho mọi f ∈ L^∞(G) vì mọi hàm f ∈ L^∞(G) là giới hạn đều của dãy hàm đơn giản {f_k}. Từ sự hội tụ đều của {f_k} về f suy ra kf − f_kk_p → 0. Vì vậy f^∗(f_k) → f^∗(f), khi k → ∞.

Để chứng minh g ∈ L^q(G), ta chia hai trường hợp Với p = 1 ta có

| Z

E

g(x)dµ| ≤ kf^∗kkχ_Ek₁ = kf^∗kµ(E)

với mọi E ∈ B. Suy ra |g(x)| ≤ kf^∗k hầu khắp nơi. Vậy kgk_∞ ≤ kf^∗k.

Với 1 < p < ∞. Theo một kết quả đã biết trong lý thuyết độ đo khi đó |g| =

gsign(g). Gọi E_n = {x ∈ G : |g(x)| ≤ n} và đặt f = χ_En|g|^q−1sign(g). Khi đó

|f|^p = |g|^q trên E_n và f ∈ L^∞(G), hơn nữa theo phần chứng minh trên ta được Z E_n |g(x)|^qdµ = Z G f(x)g(x)dµ = f^∗(f) ≤ kf^∗k( Z E_n |g(x)|^q)¹p. Vì vậy Z G χ_En(x)|g(x)|^qdµ ≤ kf^∗k^q, n = 1,2, . . .

Nếu ta chọn dãy {E_n} thoả điều kiện E₁ ⊂ E₂ ⊂ . . . E_n ⊂ . . . và ∞

[

n=1

E_n = E thì theo định lý về sự đơn điệu hội tụ ta được kgk_q ≤ kf^∗k. Vậy g ∈ L^q(G).

Nếu µ(G) = ∞ thì ta biểu diễn G =

∞

[

n=1

G_n trong đó các tập G_n đôi một phân biệt và µ(G_n) < ∞. Đặt E_k = G₁ ∪ . . . ∪ G_k. Hơn nữa với mọi tập E ⊂ G đo được ta luôn có kχ_Efk_p ≤ kfk_p. Vì vậy ánh xạ f 7−→ f^∗(χ_Ef) là một phiếm hàm tuyến tính trên L^p(G). Theo chứng minh trên tồn tại các hàm g_n trên G_n sao cho

f^∗(χ_Gnf) =

Z

G

§4. Không gian liên hiệp 87 Giả sử g_n(x) = 0 nếu x /∈ G_n và đặt g = g₁ + g₂ + · · · . Vì f^∗(χ_Enf) = Z En f(x)(g₁(x) + · · · + g_n(x))dµ, f ∈ L^p(G) vì µ(E_n) < ∞ nên ta có kg₁ + g₂ + . . . + g_nk_q ≤ kf^∗k, n = 1,2, . . .

Áp dụng bổ đề Fatou ta suy ra kgk_q ≤ kf^∗k. Vậy g ∈ L^q(G).

Chương 4

Không gian Hilbert

§ 1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN HILBERT

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian trên trường _K. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau

h., .i : H × H −→ K

(x, y) −→ hx, yi thoả mãn các tiên đề sau

i) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H.

ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. iii) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.

iv) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y.

Cặp (H,h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).

Từ định nghĩa ta nhận thấy rằng khi _K là trường thực thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H.

Ví dụ

1) Lấy H = _Rⁿ, với x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ H và biểu thức hx, yi = n X i=1 x_iy_i,

§1. Khái niệm về không gian Hilbert 91

2) Lấy H = C_[0,1] không gian gồm các hàm liên tục trên[0,1] nhận giá trị phức, với x, y ∈ H biểu thức

hx, yi =

Z 1

0

x(t)y(t)dt,

xác định một tích vô hướng trên C_[0,1]. Khi đó không gian này là một không gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C_[0,1]^L .

Định lý 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau

|hx, yi|² ≤ hx, xi.hy, yi,

bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Schwarz.

Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y 6= 0, với mọi λ ∈ K ta có

hx + λy, x + λyi ≥ 0

suy ra

hx, xi + λhy, xi + ¯λhx, yi + |λ|²hxy, yi ≥ 0.

Vì λ tuỳ ý và y 6= 0 nên ta có thể chọn λ = −^hx,yi_hy,yi. Thay vào bất đẳng thức trên ta được

hx, xi − ^{|hx, yi|} 2

hy, yi ^{≥ 0.} Vậy bất đẳng thức Schwarz được chứng minh.

Nhận xét 1. Trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 1.3. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó, kxk = hx, xi¹2, x ∈ H

xác định một chuẩn trên H.

Chứng minh. Từ định nghĩa của tích vô hướng ta suy ra

i) kxk ≥ 0, với mọi x ∈ H; và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0. ii) Với mọi x ∈ H và α ∈ _C ta có kαxk = hαx, xαi¹2 = |α|kxk.

§1. Khái niệm về không gian Hilbert 93

iii) Với mọi x, y ∈ H ta có

kx + yk² = hx + y, x + yi = kxk² + hy, xi + hx, yi + kyk² = kxk² + hx, yi + hx, yi + kyk² = kxk² + 2Re(hx, yi) + kyk² ≤ kxk² + 2|hx, yi| + kyk². Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có kx + yk² ≤ kxk² + 2kxkkyk + kyk² = (kxk + kyk)². Vậy kx + yk ≤ kxk + kyk.

Định nghĩa 1.4. Cho không gian tiền Hilbert H, theo Định lý 1.3 thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy đủ thì ta gọi H là

không gian Hilbert.

Ví dụ

1) Lấy H = _Cⁿ với tích vô hướng xác định bởi hệ thức hx, yi = n X i=1 x_iy¯_i,

trong đó x = (x₁, . . . , x_n), y = (y₁, . . . , y_n) ∈ _Cn. Khi đó H là một không gian Hilbert.

2) Cho (Ω,B, µ) là một không gian độ đo. Ký hiệu

L²(Ω) = {f : Ω −→ _C :

Z

Ω

|f(x)|²dµ < ∞}.

Với tích vô hướng

hf, gi =

Z

Ω

f(x)g(x)dµ,

L²(Ω) là một không gian Hilbert.

§ 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Định lý 2.1. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó h , i : H × H −→ _C,

§2. Một số tính chất cơ bản 95

là một hàm liên tục.

Chứng minh. Cho (x_n),(y_n) là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần lượt hội tụ về x₀ và y0. Khi đó, ta có

|hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| ≤ |hx_n, y_ni − hx_n, y₀i| + |hx_n, y₀i − hx₀, y₀i|

= |hx_n, y_n − y₀i| + |hx_n − x₀, y₀i| ≤ kx_nkky_n − y₀k + kx_n − x₀kky₀k.

Theo giả thiết (x_n) hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho kx_nk ≤ M với mọi n ∈ _N. Vì vậy, ta có

|hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| ≤ Mky_n − y₀k + kx_n − x₀kky₀k.

Chuyển qua giới hạn ta được

lim

n→∞ |hx_n, y_ni − hx₀, y₀i| = 0.

Định lý 2.2. (Đẳng thức hình bình hành) Với mọi x, y trong một không gian tiền Hilbert H ta có

kx + yk² + kx − yk² = 2(kxk² + kyk²).

Chứng minh. Với x, y ∈ H, ta có

kx + yk² = hx + y, x + yi = kxk² + hy, xi + hx, yi + kyk² kx − yk² = hx − y, x − yi = kxk² − hy, xi − hx, yi + kyk².

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành.

Định lý 2.3. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn) Cho (X,k k) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường _K. Giả sử với mọi x, y thuộc X thoả mãn

kx + yk² + kx − yk² = 2(kxk² + kyk²). (4.1) Khi đó trên X có một tích vô hướng sao cho hx, xi = kxk².

Chứng minh. Trước hết, ta xét X là một không gian tuyến tính thực. Đặt

hx, yi = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk²]. (4.2) Từ (4.2) ta có

i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ X.

§2. Một số tính chất cơ bản 97

iii) Theo (4.1) và (4.2) ta có thể viết hx, yi dưới dạng hx, yi = ¹ 2^[kx + yk² − kxk² − kyk²] (4.3) hay hx, yi = ¹ 2^[kxk² + kyk² − kx − yk²]. (4.4) Từ (4.3) và (4.4) ta có hx + y, zi = ¹ 4^[kx + y + zk² − kx + y − zk²] = ¹ 4^[kx + y + zk² + kx − y + zk² − kx − y + zk² − kx + y − zk²] = ¹ 2^[kx + zk² + kyk² − kxk² − ky − zk²] + ¹ 2^[kyk² + kzk² − ky − zk²] = hx, zi + hy, zi.

iv) Bây giờ ta chứng minh hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ _K. Trước hết với mỗi x, y ∈ X cố định, ta xét hàm g(λ) = kλx + yk. Khi đó, ta có

|g(λ) − g(λ⁰)| = |kλx + yk − kλ⁰x + yk| ≤ k(λ − λ⁰)xk = |λ − λ⁰|kxk.

nên g là một hàm của biến thực liên tục. Vì vậy, ta suy ra hàm

f(λ) = hλx, yi = ¹

4^[kλx + yk² − kλx − yk²]

liên tục theo biến thực λ.

Theo một tính chất đã biết f cộng tính (theo chứng minh iii)) và liên tục nên f là hàm tuyến tính, nghĩa là f(λ) có dạng f(λ) = Cλ trong đó C là một hằng số. Hơn nữa theo định nghĩa của f ta có f(1) = C = hx, yi. Vậy f(λ) = hx, yiλ, hay hλx, yi = λhx, yi.

Với X là không gian tuyến tính phức. Đặt hx, yi = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² + ikx + iyk² − ikx − iyk²]. (4.5) Từ (4.5) ta có

§2. Một số tính chất cơ bản 99

ii) Với mọi x, y ∈ X ta có hy, xi = ¹

4^[ky + xk² − ky − xk² + iky + k² − iky − k²] = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² + iki(x − iy)k² − ik − i(x + iy)k²] = ¹

4^[kx + yk² − kx − yk² − ikx + iyk² + ikx − iyk²] = hx, yi.

iii) Chứng minh tương tự như trong trường hợp thực.

iv) Với x, y ∈ X cố định ta xét hàm f(λ) = (λx, y) tương tự trên ta chứng minh f là hàm biến phức cộng tính liên tục nên f có dạng f(λ) = Cλ hoặc f(λ) = Cλ,