Nguyên lý bị chặn đều Định lý Banach-Steihaus

Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và (A_i)_i∈I là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Khi đó nếu {A_i| ∈ I} là tập hợp bị chặn trong L(X, Y ) thì với mỗi x ∈ X tập hợp {A_ix|i ∈ I} là tập hợp bị chặn trong Y . Vấn đề đặt ra là điều ngược lại có còn đúng không? Định lý sau sẽ trả lời câu hỏi này.

Định lý 1.1. (Banach-Steinhaus)[6] Cho X là không gian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử {A_i|i ∈ I} là họ toán tử tuyến tính liên tục

từ X vào Y sao cho với mỗi x ∈ X tập hợp {A_ix|i ∈ I} bị chặn trong Y . Khi đó {A_i|i ∈ I} là tập hợp bị chặn trong L(X, Y ); nghĩa là tồn tại một số M dương sao cho

kA_ik ≤ M, với mọi i ∈ I.

Chứng minh. Với mỗi n ∈ _N và i ∈ I, ta đặt

B_n,i = {x ∈ X : kA_ixk ≤ n } vì A_i liên tục nên B_n,i đóng. Đặt B_n = T

i∈I

Bn,i. Khi đó B_n đóng trong X.

Mặt khác, với mỗi x ∈ X tập hợp {A_ix | i ∈ I } bị chặn trong Y , nên tồn tại số M_x dương sao cho kA_ixk ≤ M_x với mọi i ∈ I. Chọn n > M_x khi đó x ∈ B_n. Vậy X = S

n∈_N B_n.

Vì X là không gian Banach nên nó thuộc phạm trù thứ 2, do đó tồn tại số nguyên dương n₀ sao cho

o

B_n0 6= ∅. Theo cách xây dựng tập hợp B_n0 là tập hợp đóng nên

o

§1. Nguyên lý bị chặn đều - Định lý Banach-Steihaus 41

Với mỗi x ∈ X khác không, ta có

x₀ + ^rx

2kxk ^{∈ B(x0, r) ⊂ Bn0.} Như vậy với mỗi i ∈ I, ta đều có

kA_i(x₀ + ^rx 2kxk^{)k ≤ n0.} Từ đó suy ra kA_i( ^rx 2kxk^{)k ≤ kAi(x0 +} rx 2kxk^{)k + kAi(x0)k} ≤ n₀ + kA_i(x₀)k

Vì A_i tuyến tính nên, ta được k ^r 2kxk^{Ai(x)k ≤ n0 + kAi(x0)k ≤ 2n0,} hay kA_i(x)k ≤ ⁴ⁿ⁰ r kxk với mọi x ∈ X. Vậy kA_ik ≤ ⁴ⁿ⁰ r ^, với mọi i ∈ I.

Định nghĩa 1.2. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và (A_i) là họ các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Nếu với mỗi x ∈ X tồn tại một số dương M_x sao cho kA_n(x)k ≤ M_x với mọi i ∈ I thì ta nói họ (A_i) bị chặn điểm. Nếu họ

(A_i) ⊂ L(X, Y ) và tập {A_i : i ∈ I} bị chặn trong L(X, Y ) thì ta nói họ (A_i) bị chặn đều.

Nhận xét. Từ định lý trên ta suy ra rằng nếu X là không gian Banach và họ

(A_i) ⊂ L(X, Y ) bị chặn điểm thì bị chặn đều.

Định lý 1.3. Cho X là một không gian Banach, Y là một không gian tuyến tính định chuẩn và (A_n) là dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Nếu với mỗi x ∈ X sao cho A_nx → Ax, khi n → ∞ thì A là toán tử tuyến tính liên tục và

kAk ≤ lim

n→∞

kA_nk.

Chứng minh. Theo giẩ thiết với mỗi x ∈ X, Ax = lim

n→∞ A_nx nghĩa là dãy (A_nx)

hội tụ trongY , do đó tập hợp {A_nx| n ∈ _N}bị chặn trong Y . Theo định lý Banach- Steinhaus tồn tại số M dương sao cho kA_nk ≤ M với mọi n ∈ _N.

§1. Nguyên lý bị chặn đều - Định lý Banach-Steihaus 43 Mặt khác, ta có kA_nxk ≤ kA_nkkxk nên lim n→∞kA_nxk ≤ lim n→∞ kA_nkkxk hay kAxk ≤ lim n→∞ kA_nkkxk Suy ra kAxk ≤ Mkxk Vậy A liên tục và ta có kAk ≤ lim n→∞ kA_nk.

Định nghĩa 1.4. ChoX, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và họ(A_α)_α∈I

các toán tử tuyến tính từ X vào Y được gọi là họ đồng liên tục đều nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thoả mãn kxk < δ thì kA_αxk < ε với mọi α ∈ I

Định lý 1.5. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và họ (A_α)_α∈I

các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Họ (A_α)_α∈I đồng liên tục đều khi và chỉ khi

(A_α)_α∈I bị chặn đều.