Cơ sở lý thuyết của phương pháp tích phân số Newmark được trình bày chi tiết trong Phụ lục 2.
Khai triển các chuỗi Taylor của chuyển vị và các đạo hàm theo thời gian của nó [88]:
Q
t + Δt
Q t + Δt = Q t
Trong đó βN và γN được chọn từ kinh nghiệm.
Tại t+Δt, phương trình chuyển động (2.20) trở thành: 1 β N Δt 1 + β N Δt (2.29)
Phương pháp này là ổn định có điều kiện đối với γN và βN được chọn phù hợp. Để các lời giải phương trình (2.29) là ổn định đối với Δt bất kỳ, cần có [88]:
γN
1 2, β
N
(2.30)
Đây là điều kiện ổn định không có điều kiện đối với sơ đồ tích phân Newmark. Nếu các điều kiện trên không thỏa mãn, sự ổn định có điều kiện tồn tại với Δt Δtcr , trong đó:
Trên cơ sở bài toán về tính ổn định trên đây, có thể xác định điều kiện ổn định cho bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi như sau [65]:
• Bước thời gian Δt phải nhỏ hơn bước thời gian tới hạn Δtcr (đối với hệ không cản, Δtcr phụ thuộc vào tần số cao nhất trong phần tử nhỏ nhất).
tt (2.32)
• Khi giả sử các biến dạng của phần tử là nhỏ, thường chọn bước thời gian tới hạn là thời gian quá độ của sóng dọc đi qua phần tử nhỏ nhất trong mô hình.
tt
(2.33)
Trong đó: ΔL là kích thước phần tử nhỏ nhất, cL là vận tốc sóng của sóng dọc. Với phần tử tam giác đều bậc nhất, giá trị ΔL được mô tả trên Hình 2.1. Bước không gian thường được sử dụng sao cho phải có ít nhất 8 nút trên bước sóng ngắn nhất được sử dụng và thỏa mãn biểu thức sau:
Δx
ΔL
ΔL
(2.34)
(a) (b) (c)
Hình 2.1. Giá trị ΔL cho các trường hợp: a) phần tử hình chữ nhật, b) phần tử hình tam giác, c) phần tử tam giác bậc 2.
MQ (2.35)
Các giá trị tại thời điểm i+1 được tính toán từ giá trị đã biết ở thời điểm i. Vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i+1 được xác định bằng phương trình [88]:
Q = Q
i+1
= Qi +Qi Δt+(1-γN )ΔtQi +γN ΔtQ
Q
i+1
Với Δt là bước thời gian; γ là các tham số với phương pháp gia tốc trung bình; γ N =1/2, β N =1/6 là các tham số với phương pháp gia tốc tuyến tính. Trong Luận án, phương pháp gia tốc trung bình được sử dụng trong tính toán.
Thay phương trình (2.36) vào phương trình (2.35), ta nhận được giá trị gia tốc
Q
i +1 tại bước thời gian i+1 theo phương trình sau:
M
eff Q
i +1
= F
eff
Với Meff là khối lượng hiệu dụng; Feff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian, được tính từ biểu thức:
M
eff
F = F
eff i +1
(2.38)
Thay giá trị Qi +1 vào (2.36), ta nhận được giá trị chuyển vị tại bước thời gian i+1.