Tìm nghiệm của phương trình (2.17) ở dạng: đặc trưng [43]
[2 + + ] = 0.
Trên thực tế, đây là một phương trình đại số bậc 3 của = 2 , có thể giải được ba nghiệm1,2,3, từ đó ta có thể
tính được sáu nghiệm của phương trình (2.19) đối với λ
1,4= ± 1;2,5 = ± 2;3,6 = ± 3; = √ , = 1,2,3.
Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) có thể biểu diễn dưới dạng
với các hằng số 1, . . . ,6 và
=
Các biểu thức sau cho thấy
4=1;5=2;6=3;4=− 1;5=− 2;6=− 3.
Do đó nghiệm tổng quát của (2.17) có thể được viết dưới dạng
Xét một phần tử dầm như trong Hình 2.2, trong đó các vectơ lực nút và chuyển vị nút như sau
{ ( )}={ , , , , , } ; {với với 1 2 Q1 N1 M1 2= 33( − Θ) = . y Q2 x N2 i j M2 L W1 1 Hình 2. 2. Các lực và chuyển vị nút của phần tử dầm
Viết lại các phương trình dưới dạng ma trận { 1, 1, 1, 2, 2, 2} = [ℤ( )]{ };
{ ,,,,,}
và ℝ là toán tử vi phân
(2.23)
Khử vectơ C trong các phương trình (2.23) dẫn đến
{ } = [ ( )]{ },
trong đó ma trận
[ ( )] = [ℚ( )] ⋅ [ℤ( )]−1
được gọi là ma trận độ cứng động cho phần tử dầm FGM.
Trong trường hợp tổng quát, khi một kết cấu nhất định gồm một số phần tử dầm, thì ma trận độ cứng động toàn phần của kết cấu được ghép nối tương tự như trong phương pháp PTHH. Cụ thể, ma trận độ cứng động được xác định bằng
[ ( )] = ∑
=1
trong đó là ma trận định vị của phần tử e. Do đó phương trình tần số của phần tử dầm FGM
det[ ( )] = 0