Trong chương 2 tác giả đã xây dựng được phương trình cơ bản của dầm FGM có lớp áp điện (gọi tắt là dầm FGM áp điện) ở dạng phương trình (2.17) và tìm được nghiệm tổng quát của nó ở dạng (2.20). Ở đây tác giả sẽ tìm nghiệm tổng quát của dầm FGM áp điện có vết nứt đã được công bố trong [82].
Trước tiên, ta tìm một nghiệm riêng ( , ) của phương trình (2.17) thỏa mãn các điều kiện
{ (0)}=( ′
0
Áp biểu thức (2.20) vào điều kiện (3.6) ta sẽ tìm được véc tơ C và sau đó thay véc tơ
C tìm được vào biểu thức (2.20) ta được nghiệm riêng cần tìm bằng { trong đó ( , ) là ma trận cỡ 3×3 có dạng [ ( , )] = [ và 11=(3 3−2 2)/∆;12=(3 2 2−2 3 3)/∆;13 21=(1 1−3 3)/∆;22=(1 3 3−3 1 1)/∆;23 31=(2 2−1 1)/∆;32=(2 1 1−1 2 2)/∆;33 ∆= 1 1( 2 − 3) + 2 2( 3 − 1) + 3 3( 1 − 2).
Do đó, có thể dễ dàng xác định nghiệm của phương trình (2.17) thỏa mãn các điều kiện (3.2) có thể được biểu diễn dưới dạng
{ ( , )} = {{
Nghiệm này được viết lại dưới dạng { ( , )} = { ( , )} + [ ( − )] ⋅ {′ ( , )} = [ ( , )]{ },
0
với các ma trận
[ ( , )] = [0( , ) + ( − )0′( , )];
[ ( )] = {
Bằng cách tương tự, có thể thu được nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm có nhiều vết nứt ở dạng (3.9) với
[ ( , )] = [ 0( , )] + ∑ =1[ ( − )] ⋅ [ ] ; [ ] = [ ′0( , )] + ∑ =1−1[
′( − )] ⋅ [ ].
Do đó, biểu thức (3.9) là nghiệm tổng quát cho dao động tự do của dầm FGM áp điện có vết nứt, sẽ được sử dụng để phân tích dao động tự do của dầm trong các trường hợp điều kiện biên khác nhau . Cụ thể, đối với dầm tựa đơn với các điều kiện biên
(0)= ( )=0; (0)= ( )=0; (0)= ( )=0với ( ) = ∗ với ( ) = ∗ trong đó [ ( )] = [ = ( ∗ (), ′ ( ), = 1,2,3; = 1,2, … . ,6 là các phần tử của ma trận
[ ′( , )] được xác định theo công thức (3.10). Do đó, phương trình tần số của dầm FGM áp điện có vết nứt là
det[ ( )] = 0,
Các nghiệm dương của phương trình làm tăng tần số riêng mong muốn 1, 2, 3, ….
một nghiệm chuẩn hóa của phương trình (3.11) có thể dễ dàng tìm thấy dưới dạng ( 1, … ,6) cho phép người ta tính toán dạng dao động tương ứng trong biểu thức ( ) =
( ) =
( ) = (1 +
trong đó hằng số tùy ý có thể nhận được từ việc chuẩn hóa dạng dao động đã chọn, ví dụ:
max| ( )| = 1.
Bằng cách sử dụng dạng dao động riêng (mode shape) này, có thể tính toán điện tích cảm biến dao động (modal piezoelectric charge) (MPC) được tạo ra trong lớp áp điện như sau
= ( ℎ13/ 33) [∫0 [′ ( ) − ℎΘ′ ( )/2] + ∫ [′ ( ) − ℎΘ′ ( )/2] ],
= ( ℎ13/ 33){[ ( ) − (0) − 1 ′ ( )] − (ℎ/2)[Θ ( ) − Θ (0) − 2Θ′ ( )]}, trong đó 1, 2 là độ lớn vết nứt được xác định ở trên trong phương trình (3.4). Đầu ra của điện tích cảm biến dao động sẽ được khảo sát bằng số cùng với các tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm FGM có lớp áp điện phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt. Trước khi thực hiện việc phân tích số dầm FGM áp điện có vết nứt (Mục 3.3), ta xem xét trường hợp dầm đồng nhất áp điện có vết nứt như một trường hợp riêng của dầm FGM.