riêng thứ ba chứng minh rằng vết nứt xuất hiện giữa các nút làm giảm điện tích đầu ra của cảm biến có chiều dài bằng chiều dài dầm và vết nứt xuất hiện bên ngoài đoạn nút làm tăng điện tích đầu ra. Đây là một chỉ báo hiệu quả đối với vị trí vết nứt bằng cách sử dụng điện tích cảm biến dao động. Quan sát các đồ thị các Hình 3.14 và 3.15 cho thấy một thực tế là việc giảm chỉ số phân bố vật liệu đồng thời với sự tăng độ dày của lớp áp điện đều dẫn đến việc khuếch đại đầu ra của điện tích cảm biến dao động.
Do đó, trong nghiên cứu này đã tiến hành nghiên cứu mô hình dầm FGM bị nứt được gắn lớp áp điện dọc theo toàn bộ chiều dài dầm dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, định luật phân bố vật liệu và mô hình lò xo kép của vết nứt ngang hở. Các phương trình được thiết lập của dầm FGM có lớp áp điện cho thấy rằng lớp áp điện đã làm tăng sự tương tác giữa các dạng dao động dọc trục và uốn. Vì vậy, các dạng dao động dọc trục có thể ảnh hưởng đến ứng xử cơ hoặc điện của kết cấu dầm kép.
Đã tìm được hàm dạng dao động tổng quát cho dầm kép có vết nứt phục vụ việc tính toán ảnh hưởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng của kết cấu dầm đồng thời đến điện tích cảm biến dao động của lớp áp điện. Hơn nữa, đã nhận được một biểu thức tường minh đối với các thông số vết nứt của điện tích cảm biến dao động, đây là một công cụ hữu ích để phát hiện vết nứt từ các điện tích cảm biến dao động đo được.
Các tần số riêng và kết quả điện tích cảm biến dao động chuẩn hóa (tức là tỷ số tần số và điện tích cảm biến dao động của dầm bị nứt so với dầm nguyên vẹn) đã được xác định phụ thuộc vào độ sâu vết nứt, chỉ số biến đổi vật liệu và độ dày của lớp áp điện. Sau khi phân tích các kết quả trên có thể đưa ra các nhận xét sau:
(1) Sự biến đổi của tần số riêng tăng khi chiều sâu vết nứt tăng, chỉ số biến đổi vật liệu và độ dày của lớp áp điện giảm;
(2) Điện tích cảm biến dao động được khuếch đại khi chỉ số biến đổi vật liệu giảm và độ dày của lớp áp điện tăng, nhưng độ sâu vết nứt có thể tăng hoặc giảm điện tích cảm biến dao động phụ thuộc vào vị trí của vết nứt;
(3) Trên dầm tồn tại những vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi tần số riêng và điện tích cảm biến dao động nào đó được gọi là điểm nút tần số riêng và điểm nút điện tích cảm biến dao động ;
(4) Cả chỉ số biến đổi vật liệu và độ dày lớp áp điện đều không ảnh hưởng đến dạng dao động riêng.
Những kết quả này đã được công bố trong bài báo mới được đăng online ngày 28/10/2021:
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương 3 tác giả đã trình bày những kết quả chính sau đây:
1. Đã xây dựng được mô hình dầm đồng nhất có lớp áp điện và có vết nứt, từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt và chiều dày lớp áp điện đến tần số và dạng dao động riêng của dầm áp điện;
2. Đã xây dựng được mô hình dầm FGM áp điện có vết nứt và ứng dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt, chiều dày lớp áp điện và tham số vật liệu
đến tần số riêng, dạng dao động riêng và điện tích xuất hiện trong lớp áp điện tính được từ các dạng dao động riêng.
3. Kết quả minh họa số là những luận cứ cơ bản để giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng cảm biến áp điện phân bố liên tục trên dầm.
CHƯƠNG 4. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM FGM CÓ LỚPÁP ĐIỆN ÁP ĐIỆN
Nội dung chính của chương này là giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm áp điện, trong đó áp dụng phương pháp đường đồng mức, thực ra là một phương pháp đồ thị. Vì vậy độ chính xác của lời giải chính là độ phân giải (bước chia của các tham số vết nứt) của đồ thị được vẽ. Tham số được chọn làm tiêu chí (indicator) chẩn đoán là tần số dao động riêng và điện tích cảm biến dao động. Kết quả chẩn đoán bằng tần số riêng và bằng điện tích cảm biến dao động được so sánh và khẳng định tính ưu việt của việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đáp ứng điện trong lớp áp điện được xem như một cảm biến thông minh liên tục.
Nội dung chính để giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đường đồng mức chính là việc xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán bao gồm sự phụ thuộc của các tần số riêng vào vị trí và độ sâu vết nứt.
4.1. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số riêng
Như trên chúng ta đã thấy, một vết nứt hở không phát triển trong dầm đàn hồi được xác định bằng hai tham số : vị trí vết nứt e và độ sâu a. Thông thường bài toán dao động riêng của một dầm đàn hồi có một vết nứt dẫn đến việc giải phương trình gọi là phương trình tần số hay phương trình đặc trưng để tìm tần số riêng
( , , ) = 0.
Dễ dàng nhận thấy, nếu độ sâu vết nứt bằng 0, tức dầm không có vết nứt thì phương
trình (4.1) sẽ cho ta các nghiệm 0, = 1,2,3, … không phụ thuộc vào vị trí vết nứt, tức
( 0, , 0) = 0( 0) = 0, ∀ .
(4.2)
Bài toán thuận, tức bài toán phân tích dao động của dầm đàn hồi có vết nứt là việc giải phương trình (4.1)
đối với tần số và kết quả cho ta các tần số riêng là hàm của vị trí và độ sâu vết nứt, ký hiệu là = ( , ), =
1,2,3, . .. .
Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số riêng, tức là bài toán ngược: xác định vị trí và độ sâu vết nứt từ các tần số riêng đã biết∗ , = 1,2,3,… Vì bài toán ngược chỉ có hai ẩn số phải tìm là vị trí và độ sâu vết nứt nên chỉ cần biết 2 tần
số khác nhau là1∗ và2∗ (thường là các tần số đo đạc được). Khi đó bài toán chẩn đoán vết nứt đòi hỏi phải giải hệ phương trình đại số phi tuyến đối với e và a như sau (4.3) Tuy nhiên, do sự phức tạp của phương trình tần số (4.1) hoặc do tính kỳ dị của hàm
số ( , , ), nên hệ phương trình (4.3) rất khó giải, thậm chí không cho nghiệm duy
nhất hoặc không có nghiệm nếu các tần số đã cho không chính xác (do sai số đo đac). Hơn nữa, nhiều khi phương trình tần số (4.1) không thể thiết lập được ở dạng tường minh đối với các tham số vết nứt, đặc biệt là độ sâu vết nứt. Vì vậy, người ta phải tìm các cách tiếp cận khác nhau để giải bài toán chẩn đoán vết nứt nêu trên. Trước hết, ta đưa vào một tham số vết nứt khác thay cho độ sâu, gọi là độ lớn vết nứt (magnitude)
= ( ). Tham số này thường là có kích cỡ nhỏ hơn nhiều độ sâu và cũng bằng 0
khi = 0, tức (0) = 0. Khi đó phương trình tần số có dạng
( , , ) = 0.
Cách tiếp cận thứ nhất, gọi là phương pháp nhiễu dựa trên giả thiết vết nứt nhỏ. Khi đó
khai triển hàm ( , , ) theo chuỗi Taylor và giữ lại số hạng bậc nhất ta được
( , , ) = ( , , 0) + ′( , , 0) = ( ) + ( , ) = 0.
Lúc này hệ phương trình (4.3) của bài toán ngược sẽ có dạng
Khử ẩn số độ lớn vết nứt từ hai phương trình trên ta được một phương trình
Phương trình (4.6) chỉ còn một ẩn số là vị trí vết nứt e, vì vậy đây là phương trình để xác định vị trí vết nứt từ các
tần số riêng. Tuy vậy, trong thực tế phương trình (4.6) cũng không cho nghiệm chính xác vì một trong các lý do sau
đây : (1) các hàm số 0( ) và 1( , ) rất phức tạp không cho phép tìm được nghiệm duy nhất, thậm chí là không có
nghiệm khi vết nứt xuất hiện ở một số vị trí đặc biệt, mà chúng ta đã gọi
ở trên là các điểm nút tần số ; (2) Sai số đo đạc cũng có thể làm cho phương trình (4.6) vô nghiệm. Chính vì thế, cho đến nay, chưa có một cộng cụ mạnh nào có thể
giải được phương trình tổng quát (4.6), mặc dù người ta đã chứng minh được ( , , ) =0( ) +1( , ) là biểu thức chính xác chứ không phải là gần đúng bậc nhất theo khai triển Taylor.
Một cách tiếp cận khác như sau: giải phương trình (4.1) bằng số, kết quả ta được hai hàm số ( , ), = 1,2 (ở dạng số) và sẽ giải bài toán tối ưu [6]