Xét dầm đàn hồi đồng nhất có chiều dài L, diện tích tiết diện ngang = × ℎ , mô đun đàn hồi và khối lượng riêng E, ρ, được dán một lớp áp điện chiều dầy hp có cùng chiều rộng với dầm (Hình 3.2). Sử dụng lý thuyết dầm cổ điển, phương trình cơ bản cho trạng thái ứng suất, biến dạng của dầm chủ có dạng
( , , ) =
= ;
trong đó ( , , ), ( , , ) là chuyển vị dọc trục và độ võng (chuyển vị uốn) của điểm bất kỳ trong mặt cắt tại x;0( , ),0( , ) – chuyển vị của dầm trên mặt trung hòa trùng với mặt giữa (z = 0) và , là ứng xuất và biến dạng tại mặt cắt x.
Sử dụng phương trình (3.15) năng lượng biến dạng của dầm chủ có thể tính bằng
= (1/2) ∭(
trong đó dấu phảy trên là đạo hàm theo biến x và mô men quán tính mặt cắt = ℎ3/12.
z (hb+hp)/2 x Hình 3. 2. Dầm có lớp áp điện Động năng của dầm chủ bằng = (
Xét lớp áp điện như dầm đàn hồi, khi đó ta cũng có các phương trình của dầm làm từ vật liệu áp điện sau đây
(3.17) cơ bản ( , ҧ, ) = 0( , ) − ҧ 0′( , ), ( , ҧ, ) = 0( , ); = ′ 0 =
trong đó 11, ℎ13, 33 lần lượt là mô đun đàn hồi, các hằng số áp điện và điện môi của vật liệu áp điện;
∈ và là cường độ điện trường và thông lượng (hay còn gọi là chuyển vị điện - electric displacement) trong lớp áp điện. Coi lớp áp điện luôn gắn chặt với dầm chủ, điều kiện liên tục của chuyển vị có dạng
( , − ℎ ℎ , ) = 2 Khi đó ta có 0 =
và phương trình (3.18) có thể viết lại thành
Sử dụng các mối liên hệ đã nhận được ở trên ta có thể tính năng lượng biến dạng và động năng của lớp áp điện bằng
= (1/2) ∭(
+(1/2) ∫ {−2ℎ
= (1/2) ∫
0
Như vậy, năng lượng biến dạng và động năng tổng cộng của dầm có lớp áp điện bằng
= + = 1 = 2∫ { 0 = 1 2 ∫0 { 11 0′2 + 2 12 0′ 0′′ + 22 0′′2 − 2ℎ13 ( 0′ + ℎ 0′′) +33 2} ; (3.25) = trong đó ký hiệu 11 11 Áp dụng nguyên lý Hamilton
cùng với các biểu thức (3.25) - (3.26), ta có thể nhận được phương trình chuyển động của hệ dầm kép ở dạng
11 0 22
= ℎ13(0′ − ℎ 0′′)/ 33
và sau đó thay vào hai phương trình còn lại trong (3.29) ta nhận được
trong đó
11
22
Đây là phương trình dao động tự do của dầm có lớp áp điện trong miền thời gian. Sau khi giải phương trình (3.30), điện tích (charge) tích lũy được trong lớp áp điện tính được bằng
= ∫=( ℎ
0
Sử dụng phép biến đổi Fourier
phương trình (3.30) trở thành ( 2
11′′′′+ ′′′+2 ′+2 ′′′′+ ′′′+2 ′+2
22
Viết lại các phương trình cuối ở dạng ma trận, ta được phương trình dao động trong miền tần số [ ]{ 4 / 4} + [ ]{ 3 / 3} + [ ]{ 2 / 2} + [ ]{ / } + [ ]{ } = 0, (3.32) trong đó ký hiệu { } = { ( , ), ( , )} và [ [
Bây giờ, ta giả thiết là trong dầm chủ có một vết nứt ngang luôn mở tại vị trí e và có độ sâu a. Khi đó điều kiện tương thích tại vết nứt có dạng
( +0, )− ( −0, )= ′( , );
′( +0, )= ′( −0, )= ′( , );( +0, )= ( −0, ); ( +0, )= ( −0, );
với các tham số , gọi là độ lớn vết nứt và được tính từ độ sâu vết nứt bằng các công thức sau ( ) = 2(0.6272 − 0.17248 + 5.92134 2 − 10.7054 3 + 31.5685 4 ( ) = 2(0.6272 − 1.04533 + 4.5948 2 − 9.9736 3 + 20.2948 4 Tìm nghiệm phương trình (3.32) ở dạng khi đó ta nhận được
Để tồn tại nghiệm khác 0 của phương trình (3.36) điều kiện cần thỏa mãn là
đây là phương trình đặc trưng để tìm các số sóng λ phụ thuộc vào tần số dao động, = ( ) [90]. Khai triển định thức trên ta nhận được phương trình đại số 6+ 4+ 2+ =0 với = 11 22 − 122; = 2( 11 22 + 22 11 − 2 12 12); = 4( − 2)− 2 ; =− 42. 11 22 12 11 11 11 3+2+ + =0,
cho phép ta dễ dàng tính được ba nghiệm1,2,3, và do đó 6 nghiệm của phương trình (3.37) bằng
1,4 = ± 1;2,5 = ± 2;3,6 = ± 3; = √ , = 1,2,3.
Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (3.36) có dạng
1
trong đó { } = { 1, . . . ,6} là véc tơ hằng số và = − ( 2
12 + 2 12)/( 2
11 + 2 11); = 1,2,3.Bây giờ ta tìm một nghiệm của phương trình (3.36) Bây giờ ta tìm một nghiệm của phương trình (3.36)
thỏa mãn điều kiện (0, ) = 0; ′(0, ) = 0; (0, ) = 0;
Thay (3.38) vào (3.39) ta được
trong đó
( , ) = 1 1 cos1 + 2 2 cos2 + 3 3 cos3 ; ( , ) = 1 1 cos1 + 2 2 cos2 + 3 3 cos3 ; ( , ) = 1
sin1 +2 sin2 +3 sin3 ; ( , ) = 1 sin1 +2 sin2 +3 sin3 ;
1 = 2 3(32 − 22)/∆; 2 = 1 3(12 − 32)/∆;3 = 1 2(22 −12)/∆;1 = ( 3 23 − 2 33)/∆; 2 = ( 1 33 − 3 13)/∆; 3 = ( 2 13 − 1 23)/∆;∆=1 2 3(32−22)+2 1 3(12−32)+3 1 2(22−12). ∆=1 2 3(32−22)+2 1 3(12−32)+3 1 2(22−12).
Đặt
0 =
khi đó có thể chứng minh được rằng nghiệm của phương trình (3.36) thỏa mãn điều kiện (3.33) có thể biểu diễn ở dạng
( , ) =
( , ) =
Nếu đưa vào các ký hiệu
{ ( , )} = { ( , ), ( , )} ; {0( , )} = { 0( , ), 0( , )} ;
[ ( , )]=[
[ ( , )]=[̂̂ ̂̂ [ ( , )] = [ ̂̂ [ ( , )] = [ ( , )] + [ ( − , ) ( , )] nghiệm (3.41) có thể viết gọn ở dạng (3.43) Đây chính là nghiệm tổng quát của dầm có lớp áp điện và có một vết nứt với các hằng số C được tính từ các điều kiện biên. Cụ thể, trong trường hợp dầm tựa đơn hai đầu với các điều kiện biên
(0)=0; (0)=0; ′′(0)=0; ( )=0; ′′( )=0,
phương trình để xác định các hằng số { } = {
trong đó
[ (ω)] =
và ( ),′ ( ),′′ ( ),′′′( ), = 1,2; = 1, … ,6 là các phần tử của ma trận [ ( , )] và các đạo hàm của chúng. Tương tự ta có thể tìm được ma trận [ (ω)] cho các trường hợp điều kiện biên ngàm hai đầu và ngàm-tự do (công xôn) như sau
[ (ω)] =
[ (ω)] =
Rõ ràng là phương trình (3.45) cho phép ta nhận được phương trình để xác định tần số riêng của dầm bị nứt có lớp áp điện ở dạng
(ω) ≡ det[ (ω)] = 0.
Các nghiệm dương của phương trình cuối cho ta tần số riêng , = 1,2,3, …. Và
mỗi tần số riêng = cho phép ta tìm được một nghiệm của phương trình (3.45) là { } = { 1, … , 6} với hằng số tùy ý và { 1, … , 6} là một nghiệm đã chuẩn hóa của phương trình
[ ( )]{ } = 0.
Như vậy, sau khi có được nghiệm của phương trình (3.45), dạng dao động riêng tương ứng với tần số riêng bằng
( ,
( ,
Hằng số tùy ý có thể tìm từ điều kiện chuẩn hóa
max| ( , )| = 1.
Sau khi có dạng dao động riêng (3.47) chúng ta có thể tính được điện tích thu được ở lớp áp điện tương ứng với từng dạng dao động riêng mà chúng ta gọi nó là hệ số điện tích cảm biến dao động của lớp áp điện. Cụ thể, thay các dạng dao động riêng (3.47) cùng các đạo hàm của chúng vào công thức (3.31) ta tính được dạng đầu ra cảm biến thứ k bằng
= ( ℎ
= ( ℎ
trong đó a ,b
thỏa mãn điều kiện biên (3.44), công thức (3.48) đơn giản thành
Q (bh / p )
k 13
Rõ ràng trong công thức (3.49) đã hiển thị ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt đến điện tích xuất hiện trong lớp áp điện tương ứng với các dạng dao động riêng, chúng sẽ được khảo sát ở mục tiếp sau.