180, 190, 190, 200, 210, 210, 220 (1) còn của 7 công nhân ở tổ 2 là
2.2.3.Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận thống kê từ tổ chức và biểu diễn số liệu.
từ tổ chức và biểu diễn số liệu.
Mục đích của biện pháp này là giúp học sinh biết rút ra các kết luận có ý nghĩa từ việc đọc bảng biểu và biểu đồ thống kê.
Để thực hiện biện pháp này, trước hết giáo viên cần giúp học sinh hiểu được vai trò của các khái niệm tần số, tần suất, tần số ghép lớp, tần suất ghép lớp trong việc tổ chức dữ liệu để dễ nhận ra cấu trúc của mẫu dữ liệu. Hiểu được lí do tồn tại của khái niệm như vậy, trong tình huống đưa ra cho học sinh giải quyết giáo viên phải lồng vào vấn đề so sánh hai mẫu dữ liệu.
Khái niệm tần số cho phép ta:
- biểu diễn mẫu số liệu theo một cách thức gọn gàng, không cồng kềnh như bảng số liệu rời rạc;
- có một cái nhìn rõ ràng hơn trên bảng số liệu và thuận lợi hơn khi phân tích nó: nhìn vào bảng tần số ta sẽ biết được giá trị đó xuất hiện nhiều hay ít so với các giá trị khác (theo [1, trang 44]).
Tuy nhiên, người ta cần phải đi đến chỗ ước lượng về tỉ số xuất hiện của mỗi giá trị trong tổng thể. Đó là lí do tồn tại khái niệm tần suất. Cũng theo [9, trang 44-45], khái niệm tần suất cần thiết khi người ta phải so sánh tỉ lệ xuất hiện hai giá trị của dấu hiệu trong cùng một mẫu dữ liệu hoặc tỉ lệ xuất hiện của cùng một giá trị trong các mẫu dữ liệu khác nhau. Điểm cần nhấn mạnh ở đây là so sánh các mẫu số liệu có kích thước khác nhau liên quan đến cùng một dấu hiệu điều tra, bởi nếu so sánh các số liệu trong cùng một mẫu thống kê hoặc trong các mẫu thống kê có cùng kích thước thì chỉ cần khái niệm tần số là đủ. Cũng chính vì các mẫu số liệu có kích thước khác nhau nên để tiện so sánh thì người ta viết tần suất ở dạng phần trăm chứ không ở dạng phân số bởi vì cách viết này sẽ cho phép tránh việc cứ mỗi lần so sánh tần suất của một giá trị nào đó lại phải quy đồng mẫu số các phân số.
Chẳng hạn, giống lúa A đã đem trồng thử nghiệm ở vùng đồng bằng sông Cửu Long. Để đánh giá chất lượng của giống lúa, người ta tìm hiểu sản lượng ở một số thửa ruộng thuộc những địa phương khác nhau đã trồng thử nghiệm. Dưới đây là bảng số liệu thu được:
Bảng 2.22 Năng suất (tạ/ha) 3
0 32 34 36 3 8 40 42 44 Tần số (n) 1 0 20 25 2 0 12 8 13 13 N = 121
Với khái niệm tần số ta đã có thể so sánh được tỉ lệ số thửa ruộng đạt năng suất 30 tạ/ha với tỉ lệ số thửa ruộng đạt năng suất 44 tạ/ha chẳng hạn. Khái niệm tần suất trong tình huống này chưa thực sự cần thiết. Thế nhưng, nếu vấn đề là có hai giống lúa A, B cùng được đưa vào thử nghiệm và qua bảng số liệu về năng suất thu được dưới đây người ta cần quyết định chọn giống lúa nào đưa vào sản xuất đại trà, thì khái niệm tần suất là cần thiết:
Bảng 2.23 Năng suất (tạ/ha) 3
0 32 34 36 3 8 40 42 44 Tần số (giống lúa A) 1 0 20 25 2 0 12 8 13 13 N = 121 Tần số (giống lúa B) 14 22 3 0 3 0 15 7 11 12 N = 139
Ngoài chức năng tạo thuận tiện cho việc nghiên cứu nhiều mẫu dữ liệu có kích thước khác nhau, cách viết tần suất ở dạng phần trăm còn cần thiết cho việc ước lượng tỉ lệ xuất hiện mỗi giá trị trong tổng thể trên cơ sở nghiên cứu mẫu thống kê.
Giáo viên cũng cần làm rõ cho học sinh thấy vai trò của bảng phân bố tần số - tần suất và bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp trong việc trình bày mẫu số liệu. Để trình bày mẫu số liệu (theo một tiêu chí nào đó) được gọn gàng, súc tích, nhất là khi có nhiều số liệu, người ta sử dụng bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. Việc phân lớp như thế nào phụ thuộc vào đặc trưng của mẫu dữ liệu và có thể vào cả mục đích nghiên cứu.
Nhằm giúp học sinh hiểu được khi nào thì sử dụng loại đồ thị nào để biểu diễn số liệu thống kê, giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy lợi thế và hạn chế (nếu có) của từng loại biểu đồ, đồ thị thống kê.
Biểu đồ tần số - tần suất hình cột được sử dụng khi muốn có một cái nhìn tổng thể và phân tích sâu trong trường hợp biến quan sát có nhiều giá trị khác nhau nhờ việc biểu diễn tần số (tần suất) của lớp ghép (hình thành từ việc nhóm các giá trị khác nhau của biến quan sát). Mặt khác, ngoài việc xem xét phân bố dữ liệu, nó còn cho phép so sánh hai dãy số liệu khác nhau (và đưa ra dự đoán về đường cong hàm mật độ lí thuyết).
Đường gấp khúc tần số, tần suất cho phép người đọc có thể nhận ra sự tiến triển của tần số, tần suất, mật độ lớp ghép và so sánh hai dãy số liệu. Ngoài ra, nó còn cho phép dự đoán được hình dáng của đồ thị hàm mật độ lí thuyết của biến ngẫu nhiên đang xét.
Biểu đồ hình quạt được sử dụng khi:
- Mô tả cấu trúc thành phần (cơ cấu) của dữ liệu. - So sánh tỉ trọng giữa các thành phần.
Tuy nhiên, biểu đồ hình quạt chỉ đáp ứng yêu cầu về một cái nhìn tổng quan về cơ cấu của dữ liệu trong trường hợp số lượng các thành phần trong tổng thể ít.
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau đây (dẫn theo [5, trang 77-78]): Công ti nước giải khát Tribeco giới thiệu một loại sản phẩm mới. Để hiểu thị hiếu của người tiêu dùng, người ta tiến hành khảo sát 150 người sử dụng loại nước uống này và thu được kết quả sau:
Bảng 2.24: Kết quả khảo sát về loại nước uống
Thích Không thích Tổng
Nam 57 33 90
Nữ 33 27 60
Câu hỏi 1: Hãy xác định số phần trăm người thích loại nước uống mới và biểu thị thông tin này bằng một loại biểu đồ phù hợp nhất.
Câu hỏi 2: Một số nhân viên bán hàng của công ti dự đoán rằng khách hàng nữ ưa chuộng hơn khách hàng nam. Dựa vào kết quả khảo sát trên, theo em dự đoán trên có đúng không? Hãy lí giải cho câu trả lời của em.
Với tri thức toán học, thống kê, các em dễ dàng đọc hiểu số liệu từ bảng biểu. Sử dụng tính toán các em sẽ tính được số phần trăm người thích
loại sản phẩm mới: 57 33
150 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+
.100% = 60%.
Để chọn được một dạng biểu đồ phù hợp biểu diễn số liệu, các em cần thông thạo cách vẽ và nắm rõ tính năng biểu diễn số liệu của từng loại biểu đồ. Lựa chọn biểu đồ hình quạt là lựa chọn hợp lí để biểu thị tỉ lệ phần trăm, cụ thể như sau:
Biểu đồ 2.7
Để trả lời câu hỏi 2, học sinh cần chuyển số liệu về dạng tỉ lệ phần trăm (hoặc dạng tỉ lệ thức) theo nam (tính được 63,3%) và nữ (tính được 55%).
Từ đó, dựa vào kiến thức thống kê cơ bản để so sánh, rút ra kết luận và lí giải.
Cần lưu ý rằng, biểu đồ thống kê không phát huy hiệu quả trong một số tình huống mà dữ liệu có những đặc điểm sau:
- Dữ liệu có độ phân tán quá lớn; - Dữ liệu ít biến động;
- Dữ liệu có quá ít giá trị khác nhau; - Dữ liệu có quá nhiều thông tin.
Trong những trường hợp này, dữ liệu được trình bày theo dạng bảng có thể cung cấp một giải thích tốt hơn. (theo [1, trang 44]).
Sau khi đã giúp học sinh hiểu được vai trò của các phương thức tổ chức và trình bày dữ liệu thống kê, giáo viên xây dựng một số tình huống giúp học sinh biết cách rút ra kết luận từ việc đọc hiểu các bảng biểu, biểu đồ thống kê.
Ví dụ 14: Giáo viên nêu tình huống sau đây để học sinh thực hành.
Tình huống: Giả sử trường ta có 1123 học sinh. Điều tra số tiền mà học sinh của trường ta đã dùng để mua sách trong năm nay (tính đến thời điểm này). Giáo viên cử ba nhóm đi điều tra học sinh của mỗi khối. Vì thời gian hạn hẹp nên ba nhóm chỉ điều tra ngẫu nhiên 40 học sinh. Số tiền mua sách của từng học sinh được ba nhóm tổng hợp ở bảng sau đây (đơn vị: nghìn đồng):
203 37 141 43 55 303 252 758 123 321 27
72 425 87 215 358 521 863 284 279 608 302703 68 149 327 127 125 489 234 498 968 350 703 68 149 327 127 125 489 234 498 968 350 57 75 503 712 440 185 404
Giáo viên đặt câu hỏi:
a) Theo các em, số tiền trung bình mà một học sinh bỏ ra để mua sách là bao nhiêu?
b) Số em mua sách từ 500 ngàn đồng trở lên chiếm bao nhiêu phần trăm? c) Xét tốp 30% số học sinh dùng tiền để mua nhiều sách nhất. Hỏi người mua ít nhất trong nhóm này mua hết bao nhiều tiền?
Tình huống này giúp học sinh biết cách sử dụng bảng tần số - tần suất ghép lớp và đọc thông tin từ bảng này.
Trước hết, dưới sự hướng dẫn của giáo viên (chẳng hạn, yêu cầu học sinh lập bảng với độ dài khoảng là 100, bắt đầu từ 0), học sinh cần lập bảng phân bố tần số - tần suất của số tiền mà mỗi học sinh bỏ ra để mua sách.
Bảng 2.25 Lớp Tần số Tần suất [0 ; 99] 9 22,5 [100 ; 199] 6 15,0 [200 ; 299] 6 15,0 [300 ; 399] 6 15,0 [400 ; 499] 5 12,5 [500 ; 599] 2 5,0 [600 ; 699] 1 2,5 [700 ; 799] 3 7,5 [800 ; 899] 1 2,5 [900 ; 999] 1 2,5 N = 40
a) Từ bảng trên ta tính được số tiền trung bình mà một học sinh bỏ ra để mua sách là: x = 9.50 6.150 6.250 6.350 5.450 2.550 1.650 3.750 1.850 1.950 40 + + + + + + + + + = 325 (nghìn đồng).
b) Nhìn vào bảng trên, ta tính được tỉ lệ học sinh của trường mua từ 500 nghìn trở lên là: 5% + 2,5% + 2,5% + 2,5% + 7,5% = 20%.
c) Xét tốp 30% số học sinh dùng tiền để mua nhiều sách nhất. Nhóm này có 40 . 30% = 12 học sinh. Có 8 học sinh tiêu từ 500 nghìn trở lên. Do đó, cần chọn thêm 4 người nữa trong nhóm kế tiếp là nhóm tiêu tiền trong đoạn [400 ; 499]. Ta có 5 số liệu trong nhóm này là: 498, 489, 440, 425 và 404. Vì vậy người mua ít nhất trong tốp này là 425 nghìn đồng.
Ví dụ 15: Biểu đồ tần số hình cột và đường gấp k húc tần số của chiều cao
của một mẫu gồm 120 cây như sau (đơn vị: m):
Biểu đồ 2.8 Biểu đồ 2.9 3,33 9,17 21,67 17,5 14,17 9,17 5,83 5,00 5,83 2,50 4,17 1,67
Dựa trên hai biểu đồ này, có nhận xét gì về xu thế phân bố chiều cao của cây? Phần lớn số cây có chiều cao nằm trong khoảng nào?
Nhìn vào bảng học sinh sẽ rút ra được các nhận xét sau: Chiều cao của cây nằm trong khoảng từ 1,7m đến 4,1m. Có 53,34% số cây có chiều cao từ 2,1m đến 2,7m và có 88,34% số cây có chiều cao từ 1,9m đến 3,5m. Số cây có chiều cao trong khoảng [2,1 ; 2,3) là nhiều nhất. Tỉ lệ cây có chiều cao trên 2,2m giảm dần.
Ví dụ 16: Giáo viên nêu tình huống sau đây để học sinh suy nghĩ và trả lời. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Biểu đồ tần số sau đây cho biết tổng số học sinh ở ba cấp học là Tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông trong những năm gần đây của nước ta (Nguồn: Bộ Giáo dục và Đào tạo):
Biểu đồ hình quạt sau đây cho biết tỉ lệ học sinh ở các cấp học của nước ta trong năm học 2012 - 2013:
Biểu đồ 2.10
Câu hỏi 1: Tìm tổng số học sinh của nước ta trong năm học 2012 - 2013. Số học sinh trung học phổ thông chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm?
Câu hỏi 2: Năm học 2012 - 2013 nước ta có tất cả bao nhiêu học sinh trung học phổ thông?
Câu hỏi 3: Giả sử phần hình quạt biểu thị tỉ lệ học sinh trung học phổ thông tăng 10%. Khi đó, tổng số học sinh tiểu học và trung học cơ sở trong năm học 2012 - 2013 là bao nhiêu?
Ở ba câu hỏi trên đều có dụng ý riêng để rèn luyện kĩ năng đọc thông tin từ biểu đồ phân bố tần số và biểu đồ hình quạt cho học sinh.
Đối với câu hỏi 1, học sinh chỉ cần căn cứ vào dữ liệu trên cột ứng với năm học 2012 - 2013 trong biểu đồ hình cột thì sẽ đọc được ngay kết quả, đó là 14,75 triệu người, và căn cứ vào biểu đồ hình quạt các em sẽ thấy số học sinh trung học phổ thông chiếm tỉ lệ 18%. Rõ ràng mức độ của câu hỏi này là dễ, học sinh chỉ cần đọc trực tiếp dữ liệu trên các biểu đồ. Câu hỏi này cũng là một gợi ý cho học sinh khi giải đáp câu hỏi thứ hai.
Tiểu học Trung học cơ sở Trung học phổ thông
Đối với câu hỏi 2, dữ liệu cần tìm không được hiển thị trực tiếp trên các biểu đồ. Tuy nhiên, học sinh có thể rút ra kết quả từ các thông tin có sẵn bằng suy luận đơn giản. Học sinh sẽ thấy trên biểu đồ hình cột tổng số học sinh năm 2012 - 2013 là 14,75 triệu người (đã biết ở câu 1). Tiếp tục liên hệ với tỉ lệ số học sinh ở trên biểu đồ hình quạt để thấy tỉ lệ học sinh trung học phổ thông là 18%. Từ đó, học sinh sẽ tính được số học sinh trung học phổ thông năm 2012 - 2013 là: 14,75 (triệu người) × 18% = 2,655 (triệu người).
Đối với câu hỏi 3, học sinh cần suy luận từ biểu đồ hình quạt rằng nếu phần hình quạt biểu thị tỉ lệ học sinh trung học phổ thông tăng 10% thì phần còn lại của hình quát sẽ là: (49% + 33%) - 10% = 72%. Tiếp tục liên hệ với biểu đồ hình cột để thấy tổng số học sinh năm học 2012 - 2013 là 14,75 triệu người. Từ đó, học sinh tính được tổng số học sinh tiểu học và trung học cơ sở trong năm học 2012 - 2013 là: 14,75 (triệu người) × 72% = 10,62 (triệu người).
Ví dụ 17: (phỏng theo [16]) Ông Bean đi siêu thị mua một hộp chứa hỗn
hợp 4 loại hạt: Đậu phộng, hạt dẻ, hạnh nhân và hạt điều với tỉ lệ tương ứng được công bố trên nhãn hộp là 4:3:2:1.
Câu hỏi 1: Biểu đồ nào sau đây thể hiện tỉ lệ các loại hạt tương ứng trong hộp (hãy khoanh tròn đáp án đúng):
Biểu đồ 2.12
Câu hỏi 2: Ông Bean tiến hành đếm các loại hạt trong hộp và được kết quả cho bởi biểu đồ sau:
A B
Biểu đồ 2.13
Với kết quả thu được, ông Bean đã quyết định khởi kiện công ti sản xuất. Hãy dự đoán xem vì sao ông Bean lại đi đến quyết định này? Hãy lí giải dự đoán của bạn.
Câu hỏi 3: Hãy thử lí giải xem liệu ông Bean có đủ cơ sở để thắng kiện không? Nếu bạn là người xét xử vụ kiện thì bạn sẽ phán xét thế nào?
Rõ ràng tình huống đặt ra ở trên không khó hiểu đối với học sinh và chỉ đòi hỏi ở học sinh kĩ năng đọc hiểu biểu đồ hình quạt và biểu đồ phân bố tần số. Với tình huống này, học sinh cần hiểu được ý nghĩa của mẫu để phán xét.
Ở câu hỏi 1, học sinh chỉ được yêu cầu đọc được thông tin trên văn bản thông tin trên biểu đồ, từ đó so sánh để đi đến kết luận chọn hình A.
Ở câu hỏi 2, mức độ khó khăn đã được tăng lên. Học sinh có thể trả lời như sau:
Trả lời 1: Dựa vào sự sai khác về tỉ lệ các loại hạt trong hộp so với trên nhãn.
Vì tỉ lệ các loại hạt trong hộp khác với tỉ lệ ghi trên nhãn. Chẳng hạn,
theo nhãn hộp thì hạt điều bằng 1
4 đậu phụng nhưng trong hộp chỉ chưa bằng 1
5.
Tỉ lệ các loại hạt trong hộp không đúng với công bố. Tỉ lệ thực tế trong hộp 125:98:53:24 khác với tỉ lệ 4:3:2:1 công bố trên hộp.
Trả lời 2: Giải thích dựa vào sai khác so với biểu đồ ở câu hỏi 1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ở câu hỏi 4, học sinh cần hiểu rõ đặc trưng mẫu để đưa ra đáp án đúng. Học sinh có thể trả lời theo cách sau đây:
Ý thứ nhất: Câu trả lời là không và nêu được lí do mà toà án chưa quyết