B. NỘI DUNG
3.1. Sự phát triển của toán học và ảnh hưởng của nó đến chủ nghĩa duy lý
KỶ XVII
3.1. Sự phát triển của toán học và ảnh hưởng của nó đến chủ nghĩa duy lý duy lý
Đến thế kỉ XVII, trong khi các ngành khoa học tự nhiên khác còn đang trải qua thời kì tích lũy đầu tiên những tài liệu thực nghiệm, thực tế thì toán học và cơ học đã phát triển và đạt được những thành tích lớn. Toán học phát triển trong mối liên hệ chặt chẽ với những vấn đề vật lý học và dưới ảnh hưởng trực tiếp của những nhiệm vụ mới của cơ học. Có thể nói, thế kỉ XVII chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học trên toàn Châu Âu. Các nhà khoa học đã xác định dưới hình thức toán học chính xác những định luật chuyển động cơ học của các vật thể.
Toán học của nền khoa học mới thì bao hàm bởi quan điểm cho rằng sự tính toán phải thay cho nhận thức thông thường để làm nền tảng cho sự am hiểu vũ trụ. Chính toán học cũng bị thay đổi với sự phát minh phép tính lôgarit, hình học giải tích và phép tính vi phân. Quan trọng hơn nữa để rút ra một kinh nghiệm khoa học người ta phải áp dụng phương pháp đo lường và tính toán một hiện tượng lặp đi lặp lại. Galilei cho rằng, ngôn ngữ toán học chính là ngôn ngữ của giới tự nhiên và bất cứ người nào có năng lực hiểu ngôn ngữ của giới tự nhiên thì đều có thể đọc được cuốn sách để ngỏ của giới tự nhiên. Do đó, ông muốn theo phương pháp: kết hợp một cách hữu cơ sự quan sát, thí nghiệm với sự phân tích chính xác theo toán học về những kết quả thu được.
Tychoo Brahe ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức Kepler bắt đầu làm việc với các dữ liệu này.
Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán, J. Napier, là người đầu tiên nghiên cứu logarit tự nhiên. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi Descartes(1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quĩ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong hệ tọa độ Đề các. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học I. Niuton, người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích các định luật của Kepler, và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là giải tích. Một cách độc lập, Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích. Cho đến lúc này khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.
Sự phát triển của toán học và các thành tựu của nó đã ảnh hưởng đến triết học. Trong khi nỗ lực đi tìm phương pháp luận mới cho các khoa học, đáp ứng yêu cầu thời kì phát triển mạnh mẽ của nó, các nhà siêu hình học đã thấy được ở toán học phương pháp thích hợp. Trong triết học của thời kì mới, sự quan tâm đối với toán học trước hết là do sự quan tâm tới phương pháp luận. Một số nhà nghiên cứu Mácxit nhận xét: “Phương pháp của siêu hình học tư biện khi đó chủ yếu là sự lý giải triết học về các phương pháp toán học. Điều đó không những có liên quan tới phương pháp triết học - hình học của Spinoda mà còn tới cả các nguyên tắc nghiên cứu của Descartes và Leibniz” [ Dẫn theo: 20, tr.33].
Descartes là người đi tiên phong trong việc xác lập toán học hiện đại, với những ký hiệu x, y, z mà hiện nay chúng ta không hề xa lạ. Khái niệm đại lượng biến thiên cho thấy mối quan hệ giữa con số và đại lượng trong toán học mới. Descartes cũng là một trong những tác giả môn hình học giải tích, với sự thống nhất các đại lượng hình học và số học. Ở ông ta thấy rõ
thời để lại dấu ấn lên các đại biểu khác của chủ nghĩa duy lý trong triết học Tây Âu thế kỉ XVII.
Có thể nói, cùng với Bacon “Descartes đã tạo ra một cuộc cách mạng trong lịch sử tư tưởng triết học” [Dẫn theo: 50, tr. 293] Tây Âu Cận đại. Có thể gọi ông là một trong số những người đầu tiên tạo ra phương pháp luận mới của thời đại, là người đột phá vào thành trì của thế giới quan kinh viện. Trong tác phẩm Luận về phương pháp, Descartes nghiêm khắc phê phán khoa học và triết học kinh viện. Ông nói rằng trong triết học thời Trung cổ không thấy một điểm nào không gây nên sự tranh cãi và do đó không thể nào không gây nên sự nghi ngờ được. Theo Descartes, các qui tắc lôgíc kinh viện chỉ giúp cho việc giải thích những cái gì mà chúng ta đã biết rõ hoặc nói những gì vô nghĩa về sự vật mà ta không biết thay cho việc nhận thức chúng. Vì vậy, ông quan tâm chủ yếu tới vấn đề sự chắc chắn của tri thức. Descartes phủ nhận mọi tri thức chỉ là có lẽ đúng và chỉ chấp nhận những tri thức hoàn toàn đáng tin và không có gì đáng hoài nghi. Nhưng khi nghiên cứu sâu hơn thì ông cho rằng chỉ có số học và hình học có được các tính chất như vậy “Và tôi không vất vả lắm để tìm biết phải bắt đầu từ những điều nào, bởi vì tôi biết phải bắt đầu từ những điều đơn sơ nhất và dễ biết nhất. Và vì nhận thấy những người đã đi tìm chân lý trong các khoa học trước đây, duy các nhà toán học đã có thể tìm thấy những chứng minh, nghĩa là một số những lý lẽ chắc chắn và hiển nhiên” [Dẫn theo: 11, tr. 245]. Ông đặt câu hỏi rằng toán học khác với các khoa học tự nhiên thực nghiệm ở chỗ nào? Hình học chẳng hạn khác với y học ở chỗ nào? Ông tự trả lời hình học nghiên cứu những điều đơn giản nhưng rất chung mà không cần hỏi rằng những điều đó có trong thiên nhiên hay không trong khi đó ngành y (cũng như các ngành khoa học tự nhiên thực nghiệm khác) tùy thuộc vào những vật thể đặc biệt nhưng rất đáng nghi ngờ và không có gì chắc chắn cả [ Xem: 3, tr. 55]. Ông cho rằng toán học là
khoa học nghiên cứu về những sự vật đơn sơ và phổ quát và không xét đến sự chúng có hiện hữu trong vũ trụ hay không. Nói cách khác toán học là khoa học dựa trên những nguyên lý của lý trí cho nên nó có tính chất hoàn toàn lý thuyết, vì vậy không sợ sai lầm như các khoa học thực nghiệm.
Như vậy, trong khi nghi ngờ mọi tri thức của con người, Descartes tin tưởng ở nội dung, tính chất của toán học, ở sự chắc chắn của nó. Không chỉ có vậy ông còn thấy được ở phương pháp toán học con đường đi tìm chân lý. Descartes cho rằng, phương pháp chung để thu được tri thức đúng đắn, chân thực cần phải là phương pháp diễn dịch theo kiểu mẫu toán học, nghĩa là muốn rút ra chân lý mới thì phải đi từ những chân lý đã có từ trước đó rồi. Ông coi thực hành toán học là một cách chuẩn bị cho phương pháp, vì sao? Vì nó tập cho con người phân biệt những điều đơn giản với những điều tổng quát, nó luyện cho con người cách nối tiếp trình tự suy nghĩ, kết hợp chúng với nhau và sự chứng minh toán học chính là mô hình của những điều mà ta phải biết và con đường hiểu biết của chúng ta.
Ở đây, Descartes đã thấy được ở toán học hai phương pháp mà theo ông là cần thiết cho tất cả các khoa học trên con đường đi tìm chân lý, đó là phương pháp tiên đề và phương pháp diễn dịch.
“Tiên đề hay tiền đề là những sự mô tả của những tính chất cũng như là những liên hệ tương hỗ, tổng quát và cơ bản của các đối tượng nghiên cứu trong các lý thuyết đó” [ Xem: 23, tr. 128]. Nhờ đó căn cứ vào các tiên đề và vào các qui tắc lôgíc mà người ta chứng minh được các định lý của các lý thuyết đó, đồng thời sáng tạo ra những phương pháp giải các bài toán và tiếp tục phát triển nội dung của lý thuyết. Tiên đề và suy luận logic là hai phương pháp đặc trưng của toán học và các khoa học tự nhiên lý thuyết.
vào trong con người trước khi tác thành con người. Con người có được chúng bằng trực giác. Trực giác theo Descartes hiểu là một hoạt động hay cái nhìn hoàn toàn sáng sủa khiến cho không còn một sự nghi ngờ nào trong trí tuệ.
Ông coi các tiên đề toán học là những tri thức hiển nhiên, là kết quả của trực giác trí tuệ, của nghị luận trừu tượng. Các tiên đề toán học là điểm xuất phát của toán học và những quan niệm rõ ràng và phân minh cũng được coi là điểm xuất phát của sự nghiên cứu khoa học. Với trực giác trí tuệ tạo cho con người có những tri thức hiển nhiên, rõ ràng và rành mạch. Bằng suy lý, từ những tri thức mang tính hiển nhiên ấy rút ra những tri thức mới cũng hiển nhiên như vậy. Theo Descartes, mọi khoa học khác nhau chỉ là những cách khác nhau trong đó cùng một khả năng suy luận và cùng một phương pháp được sử dụng. Trong mọi trường hợp, đó là việc sử dụng trực giác và diễn dịch. Ông cho rằng hai phương pháp này là những con đường chắc chắn nhất dẫn tới tri thức, đó là những năng lực của trí khôn nhờ đó chúng ta có thể đạt đến tri thức về các sự vật mà hoàn toàn không sợ bị ảo tưởng. Siêu hình học của ông cũng được xây dựng trên cơ sở của nguyên tắc này. Xuất phát từ một mệnh đề hiển nhiên không ai có thể chối cãi được: Tôi tư duy, tôi tồn tại, ông xây dựng toàn thể hệ thống của mình.
Trong tác phẩm Luận về phương pháp Descartes đã mở rộng đặc trưng toán học vạn năng vào tất cả mọi lĩnh vực tri thức. Ông tin tưởng rằng mọi đối tượng của tri thức chân thực đều có cùng quan hệ với nhau giống như quan hệ giữa các chứng minh toán học. Theo ông, tất cả mọi đối tượng của tri thức chân thực có thể phân bố trong một dãy mà một thành phần của dãy trở thành rõ ràng nhờ nhận thức một thành phần khác, thành phần này lại nhờ một thành phần tiếp đó và cứ thế mãi...cho đến khi thành phần cuối cùng đã có cơ sở đầy đủ rồi. Descartes đề cao phương pháp suy luận trong toán học. Trong phần hai cuốn sách này ông cho rằng: các nhà toán học sử dụng những lập luận dài
từng chuỗi nhưng lại rất đơn giản và dễ dàng để đạt tới những chứng minh khó khăn nhất của họ. Điều này cho ông có dịp nhận thấy rằng tất cả những gì nằm trong giới hạn tri thức con người đều nối kết với nhau. “Và tôi nghĩ rằng miễn là người ta tránh đừng nhận là đích thực cái gì không đích thực, và người ta luôn luôn theo trật tự thích ứng để rút cái này ra từ cái kia thì không có điều gì xa xôi đến đâu mà chúng ta không đạt tới, và không có gì bí ẩn đến đâu mà người ta không khám phá ra” [Dẫn theo: 11, tr. 244]. Descartes cũng khẳng định, nếu chúng ta có thể tìm ra những giá trị toán học của một số điều kiện, ví dụ, độ của một góc từ những điều kiện khác đã biết, ví dụ chiều dài của các cạnh và độ của hai cạnh kia trong tam giác thì tại sao chúng ta không thể sử dụng cùng phương pháp suy luận này trong các lĩnh vực khác? Ông tin chắc là có thể bởi vì phương pháp của mình chứa những điều cơ bản của lý trí con người và nhờ đó có thể suy ra những chân lý trong bất cứ lĩnh vực nào.
Xuất phát từ những tin tưởng ở toán học và phương pháp toán học như vậy, trong tác phẩm Phương pháp luận, Descartes đưa ra bốn nguyên tắc của phương pháp. Ở cả bốn qui tắc này, ta đều thấy có sự liên quan đến các phương pháp toán học.
1. Không chấp nhận điều gì là chân thực trừ khi thấy nó thực một cách hiển nhiên, nghĩa là hết sức tránh sự hấp tấp và thành kiến, và khi phán đoán thì chỉ chấp nhận những gì tâm trí ta quan niệm một cách rõ ràng và phân minh đến nỗi tôi không còn có thể hoài nghi được. Các tiên đề toán học được coi là những tri thức rõ ràng và phân minh như vậy.
2. Nguyên tắc thứ hai là phân chia mỗi vấn đề khó khăn thành nhiều thành phần hết sức và tùy theo nhu cầu để cho dễ giải quyết hơn. Đây là qui luật phân tích: khi không giải quyết ngay được những công việc khó khăn chúng ta phải phân tích chúng thành nhiều thành phần để dễ thấy cơ cấu của
chúng, và để nhìn rõ bản chất vấn đề hơn. Đây là cách hiệu nghiệm để giải quyết chúng.
Trong phụ lục về Hình học của Phương pháp luận, Descartes nói rõ phương pháp giải một bài toán như sau: “Muốn giải một bài toán ban đầu người ta xem như bài toán đã được giải xong, rồi nghiên cứu chúng, nghiên cứu các đường tạo thành hình, từ những đường là phần tử đã biết đến các đường phải tìm tức là cái chưa biết. Rồi không phân biệt giữa các đường đã biết và chưa biết người ta cần phải trải qua thứ tự các khó khăn cần khắc phục, các mối liên quan với nhau, cho đến khi nào tìm ra được một cách diễn đạt cùng một đại lượng nhưng theo hai cách, như thế là ta đã đi đến một phương trình.” [Dẫn theo: 3, tr. 51). Tức là ở đây nhà toán học phải biết mổ xẻ cái phức tạp thành nhiều cái đơn giản hơn, phân biệt rạch ròi cái đã cho, cái chưa biết và cái phải tìm, cái chưa biết.
3. Nguyên tắc thứ ba qui định rằng, trong quá trình nhận thức chúng ta cần phải xuất phát từ những điều đơn giản và sơ đẳng nhất, dần dần đi đến những điều phức tạp hơn và giả định một trật tự nhất định mà ở trong trạng thái tự nhiên cái này không nối tiếp cái kia.
4. Nguyên tắc sau cùng là luôn luôn kê khai đầy đủ các thành phần, và lược lại một cách tổng quát, để chắc là không bỏ sót điều nào. Đây là qui luật của tổng quát và của duyệt xét: nếu phân tích mà không có tổng quát kiểm điểm lại để có cái nhìn tổng hợp thì ta không đạt được tri thức mong muốn, vì thay vì tri thức trong tính đối tượng của nó chúng ta đã dừng nơi những phương tiện nào đó, thành phần nào đó của nó.
Sau khi đưa ra các qui luật của phương pháp, Descartes một lần nữa khẳng định ông lấy chính các nguyên tắc này từ toán học.
Như vậy, Descartes cho rằng toán học và phương pháp suy luận trong toán học có sức mạnh vạn năng trong việc nhận thức thế giới. Tuy nhiên,
quan niệm của ông về toán học và phương pháp toán học có những hạn chế. Ông cho rằng toán học nghiên cứu những điều đơn sơ và phổ quát mà không cần biết những điều đó có trong thực tế hay không là sai lầm. Toán học là một môn khoa học dựa trên những qui tắc tư duy lôgíc hết sức chặt chẽ và chính xác, và nhìn bề ngoài dường như nó không dính dáng gì đến thế giới bên ngoài, đến kinh nghiệm hàng ngày. Những khoa học lý thuyết trong sự phát triển của mình cũng dường như tách rời thực tiễn. Song xét cho cùng nó vẫn phải dựa trên cơ sở những căn cứ thực nghiệm, nhằm mục đích giải quyết những vấn đề thực tiễn và phải được thực tiễn kiểm nghiệm. Đặc biệt ở trình độ phát triển cao ngày nay, đôi khi nó đi trước thực tiễn nhưng vẫn nhằm giải quyết những nhiệm vụ do thực tiễn đề ra.
Chính do đó, Ănghen đã viết “Như thế là ngay từ đầu sự phát sinh và